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【题目】据说,年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师,日久生情,彼此爱慕,其父国王知情后大怒,将笛卡尔流放回法国,并软禁公主,笛卡尔回法国后染上黑死病,连连给公主写信,死前最后一封信只有一个公式:国王不懂,将这封信交给了公主,公主用笛卡尔教她的坐标知识,画出了这个图形心形线”.明白了笛卡尔的心意,登上了国王宝座后,派人去寻笛卡尔,其逝久矣(仅是一个传说).心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名.在极坐标系中,方程表示的曲线就是一条心形线,如图,以极轴所在直线为轴,极点为坐标原点的直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数).

1)求曲线的极坐标方程;

2)若曲线相交于三点,求线段的长.

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【题目】已知两定点F1(﹣1,0),F2(1,0),且|PF1||PF2|的等差中项,则动点P的轨迹是(  )

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段

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【题目】已知函数,其中.

(Ⅰ)讨论的单调性;

(Ⅱ)当时,证明:

(Ⅲ)求证:对任意正整数,都有 (其中为自然对数的底数).

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【题目】已知函数,函数g(x)=f(1-x)-kx+k-恰有三个不同的零点,则k的取值范围是(  )

A. (-2-,0]∪ B. (-2+,0]∪

C. (-2-,0]∪ D. (-2+,0]∪

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【题目】为了更好地支持中小型企业的发展,某市决定对部分企业的税收进行适当的减免,某机构调查了当地的中小型企业年收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图,下面三个结论:

样本数据落在区间的频率为0.45

如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策,估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策;

样本的中位数为480万元.

其中正确结论的个数为( )

A.0B.1C.2D.3

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【题目】在平面直角坐标系中,点,直线的参数方程为为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

时,判断直线与曲线的位置关系;

若直线与曲线相切于点,求的值.

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【题目】在学习强国活动中,某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源,现对已借阅了科技类图书的市民(以下简称为“问卷市民”)进行随机问卷调查,若不借阅时政类图书记1分,若借阅时政类图书记2分,每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为,市民之间选择意愿相互独立.

1)从问卷市民中随机抽取4人,记总得分为随机变量,求的分布列和数学期望;

2)(i)若从问卷市民中随机抽取人,记总分恰为分的概率为,求数列的前10项和;

(ⅱ)在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中,记已调查过的累计得分恰为分的概率为(比如:表示累计得分为1分的概率,表示累计得分为2分的概率,),试探求之间的关系,并求数列的通项公式.

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【题目】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图,将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料判断是否在犯错误的概率不超过的前提下认为"体育迷"与性别有关.

性别

非体育迷

体育迷

总计

10

55

总计

下面的临界值表供参考:

015

010

005

025

0010

0005

0001

k

2072

2706

3841

5024

6635

7879

10828

(参考公式:,其中)

2)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列期望和方差

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【题目】已知函数

求证:函数上的增函数.

若不等式恒成立,求实数的取值范围.

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同步练习册答案