【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的准线方程为．

（1）求p的值；

（2）过抛物线C的焦点的直线l交抛物线C于点A，B，交抛物线C的准线于点P，若A为线段PB的中点，求线段AB的长．

【题目】已知函数，其中e是自然对数的底数

（1）若，求的最小值；

（2）记f（x）的图象在处的切线的纵截距为，求的极值；

（3）若有2个零点，求证：．

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点、右顶点分别为F，A，过原点的直线与椭圆C交于点P、Q（点P在第一象限内），连结PA，QF．若，的面积是面积的3倍．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知M为线段PA的中点，连结QA，QM．

①求证：Q，F，M三点共线；

②记直线QP，QM，QA的斜率分别为，，，若，求的面积．

【题目】为了提升学生“数学建模”的核心素养，某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务：如图，有一张边长为27cm的等边三角形纸片ABC，从中裁出等边三角形纸片作为底面，从剩余梯形中裁出三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱（不计损耗）．

（1）若三棱柱的侧面积等于底面积，求此三棱柱的底面边长；

（2）当三棱柱的底面边长为何值时，三棱柱的体积最大？

【题目】已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围是________．

（1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率；

（2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为，求的分布列及数学期望.

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.

（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？

附：

，其中.

【题目】已知集合，从P中任取2个元素，分别记为a，b.

（1）若，随机变量X表示ab被3除的余数，求的概率；

（2）若（且），随机变量Y表示被5除的余数，求Y的概率分布及数学期望.

【题目】如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为6，正方形ABCD的中心为坐标原点O，AD，BC平行于x轴，AB、CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M、N分别在PA，BD上，且.

（1）若，求直线MN与PC所成角的大小；

（2）若二面角A-PN-D的平面角的余弦值为，求λ的值.