【题目】已知函数．

（Ⅰ）设曲线与轴正半轴交于点，求曲线在该点处的切线方程；

（Ⅱ）设方程有两个实数根，，求证：

甲抽取的样本数据：

女抽取的样本数据：

（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；

（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关；

（Ⅲ）判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由．

附：

【题目】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，且直线l与曲线C交于M、N两点.

（1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；

（2）若曲线C外一点恰好落在直线l上，且，求m，n的值.

【题目】超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；

（2）若P与抗生素计量相关，其中，，…，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有.

（i）证明：为等比数列；

（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.

参考数据：，，，，，

，，，

【题目】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C与x轴交于A、B两点，直线和与直线l：分别交于点M，N，试探究以为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标：若否，请说明理由.

【题目】已知函数，，且与的图象有一条斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）.

（1）求；

（2）设函数，证明：当时，有且仅有2个零点.

【题目】如图，四棱锥的侧棱与四棱锥的侧棱都与底面垂直，，，，，，.

（1）证明：平面；

（2）在棱上是否存在点M，使平面与平面所成角的正弦值为？如果存在，指出M点的位置；如果不存在，请说明理由.

【题目】已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.，若点M为的中点，则下列说法正确的个数为（ ）

（1）平面 （2）四棱锥的体积为12

（3）平面 （4）四棱锥外接球的表面积为

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题目】元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的，输出的，则判断框中可以填（ ）

A.B.C.D.

【题目】2020元旦联欢晚会上,,两班各设计了一个摸球表演节目的游戏：班在一个纸盒中装有1个红球,1个黄球,1个白球,这些球除颜色外完全相同,记事件：同学们有放回地每次摸出1个球,重复次,次摸球中既有红球,也有黄球,还有白球；班在一个纸盒中装有1个蓝球,1个黑球,这些球除颜色外完全相同,记事件：同学们有放回地每次摸出1个球,重复次,次摸球中既有蓝球,也有黑球,事件发生的概率为,事件发生的概率为．

（1）求概率,及,；

（2）已知,其中,为常数,求．