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【题目】一个正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,点是棱
的中点,
,
分别是线段
,
(不包含端点)上的动点,则下列说法正确的是( )
A.在点的运动过程中,存在
B.在点的运动过程中,存在
C.三棱锥的体积为定值
D.三棱锥的体积不为定值
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,其中
.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)在平面直角坐标系中,设直线
与曲线
相交于
,
两点.若点
恰为线段
的三等分点,求
的值.
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【题目】已知椭圆:
的左焦点
,点
在椭圆
上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)经过圆:
上一动点
作椭圆
的两条切线,切点分别记为
,
,直线
,
分别与圆
相交于异于点
的
,
两点.
(i)当直线,
的斜率都存在时,记直线
,
的斜率分别为
,
.求证:
;
(ii)求的取值范围.
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【题目】某公司为加强对销售员的考核与管理,从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额,该小组各组员2019年度的月均销售额(单位:万元)分别为:3.35,3.35,3.38,3.41,3.43,3.44,3.46,3.48,3.51,3.54,3.56,3.56,3.57,3.59,3.60,3.64,3.64,3.67,3.70,3.70.
(Ⅰ)根据公司人力资源部门的要求,若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的,则对该销售小组给予奖励,否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励;
(Ⅱ)从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员,求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率.
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【题目】在三棱锥中,
,
在底面
上的投影为
的中点
,
.有下列结论:
①三棱锥的三条侧棱长均相等;
②的取值范围是
;
③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上,则球
的体积为
;
④若,
是线段
上一动点,则
的最小值为
.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.②③C.①②④D.①③④
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【题目】十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材,从而大大提升了该县村民的经济收入.2019年年底,该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户,统计了他们2019年因种植,中药材所获纯利润(单位:万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元),统计结果如下表所示:
(1)由表可以认为,该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位:万元)近似地服从正态分布,其中
近似为样本平均数
(每组数据取区间的中点值),
近似为样本方差
.若该县有1万户农户种植了该中药材,试估算所获纯利润Z在区间(1.9,8.2)的户数;
(2)为答谢广大农户的积极参与,该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动,抽奖规则如下:在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球,其中红球1个,黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球,若取到红球,则抽奖结束;若取到黑球,则将黑球放回箱中,让他继续取球,直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球,则视为中奖,获得2000元的奖励,若一直未取到红球,则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动,记他中奖时取球的次数为随机变量X,他取球的次数为随机变量Y.
①证明:为等比数列;
②求Y的数学期望.(精确到0.001)
参考数据:.若随机变量
则
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,AB//CD,
是以
为斜边的等腰直角三角形,且平面
平面ABCD,点F满足,
.
(1)试探究为何值时,CE//平面BDF,并给予证明;
(2)在(1)的条件下,求直线AB与平面BDF所成角的正弦值.
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