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20.在宽度为L的条形区域内有匀强电场,电场的方向平行于区域边界.有一个带电粒子(不计重力)从左侧边界上的A点,以初速度v0沿垂直于电场的方向射入电场,粒子从右侧边界射出时的速度大小为$\frac{\sqrt{17}}{4}$v0
(1)求粒子从右侧边界射出时,沿电场方向位移的大小;
(2)若带电粒子的入射速度改为$\frac{1}{4}$v0,求粒子从右侧边界射出时速度的大小;
(3)若带电粒子的入射速度大小可以为任意值(远小于光速),求带电粒子从右侧边界射出速度的最小值.

分析 (1)粒子在电场中做类平抛运动,将运动沿水平方向与竖直方向分解即可求出;
(2)将粒子的运动分解,求出末速度的表达式,然后依据二项式定理即可求出;
(3)根据运动的合成与分解,结合运动学公式,及矢量的合成法则,即可求解.

解答 解:(1)射出电场的速度分解为水平方向和竖直方向,则有:
$\frac{\sqrt{17}}{4}$v0=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y1}^{2}}$
解得:vy1=$\frac{1}{4}$v0
设经过时间t1粒子射出电场,沿电场方向位移y,由类平抛运动知:
L=v0t1
vy1=at1
得:a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4L}$
由y=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$解得:y=$\frac{L}{8}$
(2)粒子在水平方向做匀速运动,设经过时间t2
粒子射出电场:L=$\frac{{v}_{0}{t}_{2}}{4}$
设粒子沿场强方向加速度为a,沿场强方向匀加速直线运动:vy2=at2
粒子射出电场速度v0
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y2}^{2}}$
联立上式,解得:v=$\frac{\sqrt{17}}{4}$v0
(3)设粒子以vx射入电场,沿电场方向速度为vy
粒子射出电场的速度为v′,
则有:v′=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+(a\frac{L}{{v}_{x}})^{2}}$
当${v}_{x}^{2}$=$(a\frac{L}{{v}_{x}})^{2}$时,v′取最小值,即vx=$\frac{{v}_{0}}{2}$
那么带电粒子从右侧边界射出速度的最小值v′=$\frac{\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$
答:(1)粒子从右侧边界射出时,沿电场方向位移的大小$\frac{L}{8}$;
(2)若带电粒子的入射速度改为$\frac{1}{4}$v0,粒子从右侧边界射出时速度的大小$\frac{\sqrt{17}}{4}$v0
(3)若带电粒子的入射速度大小可以为任意值(远小于光速),带电粒子从右侧边界射出速度的最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$.

点评 该题考查带电粒子在电场中的偏转,解答的难点是第二位,要正确写出粒子的末速度的表达式,才能正确得出结论.

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