Question

17．如图所示，水平地面BC与光滑曲面AB相切于B点，与内壁光滑的$\frac{1}{4}$细圆管CD相切于C点，管口D正下方直立一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定，上端恰好与管口D齐平．将质量为m的小物块（可视为质点）放在弹簧上端且缓慢下压弹簧，当弹簧压缩的长度x₁=$\frac{4mg}{k}$（其中g为重力加速度大小），对应弹簧的弹性势能E_p1=$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}}{k}$时，由静止开始释放物块，物块进入管口D后沿DCBA轨道运动且不脱离轨道．已知物块速度最大时弹性势能E_p2=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$，物块与BC间的动摩擦因数μ=0.8，BC的长度L₁=$\frac{mg}{k}$，圆管CD的半径R=$\frac{mg}{k}$，求：
（1）物块的最大速度v_max；
（2）物块第一次到达C点的速度大小v_C；
（3）物块最终停止的位置与B点的距离L．

Answer 1

分析 （1）物块速度最大时合力为零，由平衡条件和胡克定律求出此时弹簧的压缩量，再对系统，由机械能守恒定律求物块的最大速度v_max；
（2）根据系统的机械能守恒求物块第一次到达C点的速度大小v_C；
（3）对合程，运用动能定理求物块最终停止的位置与B点的距离L．

解答 解：（1）物块速度最大时合力为零，则有：mg=kx
得：x=$\frac{mg}{k}$
从释放到速度最大的过程，由系统的机械能守恒得：
E_p1=mg（x₁-x）+$\frac{1}{2}m{v}_{max}^{2}$
结合x₁=$\frac{4mg}{k}$、E_p1=$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}}{k}$解得：v_max=$\sqrt{\frac{10m{g}^{2}}{k}}$
（2）从释放到第一次到C点的过程，由系统的机械能守恒得：
E_p1=mg（x₁+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：v_C=$\sqrt{\frac{6m{g}^{2}}{k}}$
（3）对物块在ABC上运动的全程，设总路程为S，由动能定理得：
-μmgS=0-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得：S=$\frac{15mg}{4k}$=3.75L₁
所以物块最终停止的位置与B点的距离为：L=L₁-0.75L₁=0.25L₁=$\frac{mg}{4k}$
答：（1）物块的最大速度v_max是$\sqrt{\frac{10m{g}^{2}}{k}}$．
（2）物块第一次到达C点的速度大小v_C是$\sqrt{\frac{6m{g}^{2}}{k}}$．
（3）物块最终停止的位置与B点的距离L是$\frac{mg}{4k}$．

点评 解决本题时，要理清物块的运动过程，把握能量是如何转化的，知道速度最大的条件是合力为零，滑动摩擦力做功与总路程有关．