Question

16．某一行星有一质量为m的卫星，行星的半径为R，卫星离行星表面的高度为h，周期T做匀速圆周运动，求：
（1）行星的质量
（2）行星的平均密度
（3）行星表面的重力加速度是多少？

Answer 1

分析 研究卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量．不考虑天体的自转，对任何天体表面都可以认为万有引力等于重力．

解答 解：（1）卫星绕行星做匀速圆周运动，轨道半径（R+h），根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{mm′}{（R+h）_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解：$m=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根据$ρ=\frac{m}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
（3）根据重力等于万有引力得$m′g=G\frac{mm′}{{R}_{\;}^{2}}$
得$g=\frac{Gm}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$
答：（1）行星的质量$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）行星的平均密度$\frac{3π（r+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
（3）行星表面的重力加速度是$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$

点评 本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．