Question

17．如图所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，边长L₁=0.40m、L₂=0.25m，其匝数n=100匝，总电阻r=1.0Ω，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D（集流环）焊接在一起，并通过电刷和R=3.0Ω的定值电阻相连接．线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度B=1.0T，在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O₁O₂匀速转动，角速度ω=2.0rad/s．求：
（1）电阻R两端电压的最大值
（2）从线圈通过中性面（即线圈平面与磁场方向垂直的位置）开始计时，经过$\frac{1}{4}$周期通过电阻R的电荷量．
（3）在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）根据E=nBSω求出感应电动势的最大值，结合内外电阻，即可求解R两端的最大电压值．
（2）根据法拉第电磁感应定律结合闭合电路欧姆定律求出平均感应电流，根据q=$\overline{I}$△t求出通过电阻R的电荷量．
（3）根据E=nBSω求出感应电动势的最大值，从而求出感应电动势的有效值，根据欧姆定律求出感应电流的有效值，根据焦耳定律可求得转动一周过程中电阻R上产生的热量；

解答 解：（1）线圈中感应电动势的最大值E_m=nBSω，其中S=L₁L₂
E_m=nBSω=nBL₁L₂ω=20V
线圈中感应电流的最大值I_m=$\frac{{E}_{m}}{R+r}$=5.0A
电阻R两端电压的最大值U_m=I_mR=15V
（2）设从线圈平面通过中性面时开始，经过$\frac{1}{4}$周期的时间△t=$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{2ω}$
此过程中线圈中的平均感应电动势′：E=n$\frac{△∅}{△t}$=n$\frac{BS}{△t}$
通过电阻R的平均电流：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$=$\frac{nBS}{（R+r）△t}$，
通过电阻R的电荷量：q=$\overline{I}△t$=$\frac{nBS}{R+r}$；
代入数据，解得：q=2.5C
（3）线圈中感应电流的有效值I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$A
线圈转动一周的过程中，电流通过整个回路产生的焦耳热：Q_热=I²（R+r）T=50πJ≈157J
答：（1）电阻R两端电压的最大值15V；
（2）经过$\frac{1}{4}$周期通过电阻R的电荷量2.5C；
（3）在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热157J．

点评 解决本题的关键掌握感应电动势的平均值、最大值、有效值和瞬时值的区别以及应用．注意求电阻发热，则必须将交流电的有效值代入计算，求电量用电流的平均值．