Question

19．有一倾角θ=37°的硬杆，其上套有一下端固定于O点，劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，弹簧的自由端位于硬杆上的Q处．硬杆OQ部分光滑，PQ部分粗糙，弹簧与杆间无摩擦．一个质量为m=1kg的小球套在此硬杆上，从P点由静止开始滑下，已知小球与硬杆间的动摩擦因数为μ=0.5，PQ间的距离为L=0.91m．弹簧的弹性势能与其形变量x的关系为E_p=$\frac{1}{2}$kx²，不计空气的阻力做功及小球与弹簧碰撞时的能量损失．（已知g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ）．求：
（1）小球在运动过程中达到最大速度时弹簧的形变量是多少；
（2）小球在运动过程中所能达到的最大速度v_m；
（3）经过较长的时间后，系统能够处于稳定状态．试对这一稳定状态作简单描述．并求出整个过程中因摩擦而产生的热能．

Answer 1

分析 （1）当加速度为零时小球的速度最大，由平衡条件和胡克定律结合求弹簧的形变量．
（2）小球由P点无初速滑下至弹簧被压缩至最大的过程中，对小球运用功能关系列式，可求得最大速度v_m．
（3）经过较长的时间后，小球将在Q点以下做来回往复式运动，小球的机械能与弹簧的弹性势能相互转化，整个系统处于稳定状态．根据能量守恒求．

解答 解：（1）当小球从P点无初速滑下时，弹簧被压缩至x处时小球的加速度为零，速度有最大值，因为硬杆OQ部分光滑，则有：
mgsinθ=kx
代入数据得：x=0.06m     
（2）小球由P点无初速滑下至弹簧被压缩至x=0.06m处的过程中，对小球运用功能关系，有：
 mgsinθ（l+x）-μmgcosθl-W_弹=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
又 W_弹=$\frac{1}{2}$kx²
即：mgsinθ（l+x）-μmgcosθl-$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
代入数据得：v_m=2m/s                                
（3）经过较长的时间后，小球将在Q点以下做来回往复式运动，小球的机械能与弹簧的弹性势能相互转化，整个系统处于稳定状态．在不计空气的阻力做功及小球与弹簧碰撞时的能量损失的情况下，全过程中系统的机械能减小量即为整个过程中因摩擦而产生的热能． 有：
Q=mglsinθ=5.46J
答：（1）小球在运动过程中达到最大速度时弹簧的形变量是0.06m；
（2）小球在运动过程中所能达到的最大速度v_m是2m/s；
（3）经过较长的时间后，小球将在Q点以下做来回往复式运动，小球的机械能与弹簧的弹性势能相互转化，整个系统处于稳定状态．整个过程中因摩擦而产生的热能是5.46J．

点评 小球运动过程较为清晰，涉及摩擦力做功和弹力做功，应用动能定理或能量守恒定律均可解决，注意弹力做功转化为弹性势能．