Question

A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r₁,B的轨道半径为r₂．已知恒星质量为M，恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径r₁＜r₂．若在某一时刻两行星相距最近．试求：

(1)再经过多少时间两行星距离又最近?

(2)再经过多少时间两行星距离又最远?

 

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)A、B两行星如图所不位置时距离最近，这时A、B与恒星在同一条圆半径上．A、B运动方向相同，A更靠近恒星，A的转动角速度大、周期短．如果经过时间t，A、B与恒星连线半径转过的角度相差的2π整数倍，则A、B与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近．设A、B的角速度分别为ω1、ω2，经过时间t，A转过的角度为ω1t，B转过的角度为ω2t，A、B距离最近的条件是：ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3……)恒星对行星的引力提供向心力，则G＝mrω2，即ω＝由此得出：ω1＝，ω2＝求得t＝(k＝1，2，3……)． (2)如果经过时间t′，A、B转过的角度相差π的奇数倍时，则A、B相距最远，即：ω1t′＝(2k－1)π(k＝1，2，3……)把ω1、ω2代入得t′＝．

提示：

点拨：A、B与恒星在同一条圆半径上，A、B运动方向相同，A更靠近恒星，A的转动角速度大、周期短，所以再相距最近时，A比B至少多运行了一圈；当相距最远时，A、B与圆心在一条直线上且位于圆心的两侧，此时A比B至少多运行了半圈．