Question

2007年10月24日18时05分，搭载着我国首颗探月卫星“嫦娥一号”的长征三号甲运载火箭在西昌卫星发射中心三号塔架点火发射。11月5日10时35分左右，经过180多万千米长途飞行的“嫦娥一号”卫星，被月球成功捕获，开始绕月球做无动力状态下的椭圆轨道运动。如图所示为该椭圆轨道示意图，已知远月点距月心距离为r_a，近月点距月心距离为r_b。此后，卫星还将进行两次近月制动，最终进入距离月球200千米、周期为127分钟的圆形轨道。若卫星运动遵守开普勒三定律，其第二定律内容可简化为如下表达式：r_a×v_a=r_b×v_b，式中v_a、v_b分别是远月点和近月点卫星运行速度；第三定律内容可表述为：如果卫星绕月球做圆周运动的半径与做椭圆运动的长半轴相等，则两者周期相等；卫星在距月心距离为r时，引力势能可写成-GMm/r。若已知月球质量为M，引力常量为G，忽略卫星在太空运行时的一切阻力。根据以上信息求：

（1）“嫦娥一号”卫星在该椭圆轨道上的运行周期；

（2）“嫦娥一号”卫星的近月运行速度。

Answer 1

解：（1）卫星绕月球做圆周运动的半径与做椭圆运动的半长轴相等时，则两者周期相等。

令卫星质量为m，对以半长轴R为半径绕月球做圆周运动的卫星，据万有引力定律得：

 

R=

所以T=π(r_a+r_b)

所以“嫦娥一号”在椭圆轨道上的运行周期

T=π(r_a+r_b)。

（2）据开普勒三定律中的第二定律：r_av_a=r_bv_b

对卫星，据机械能守恒，有：

mv_a²/2-GMm/r_a=mv_b²/2-GMm/r_b

由上两式得“嫦娥一号”近月运行速度

v_b=。

本题考查天体运动、万有引力定律、开普勒第二定律、机械能守恒等有关知识。