Question

11．如图所示，在边长为L的正方形区域ABCD内，存在沿AD方向的匀强电场，质量均为m，带电量分别为+q和-q的两粒子，同时由A、C两点沿AB和CD方向以速率v₀进入正方形区域，两粒子在区域的正中心相遇．若将区域中的电场换为垂直纸面向外的匀强磁场，两粒子同时由A、B两点沿平行于AB方向进入区域，速度大小仍为v₀，两粒子也在区域的正中心相遇，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）匀强磁场的磁感应强度B；
（3）若上述电场和磁场同时存在，两粒子先后由A点沿AC方向进入场区，速度大小仍为v₀，要求粒子能够沿直线到达C点，正方形区域内需另加一平行于纸面的匀强电场E′，求E′的大小和方向（方向用与AB方向夹角的正切值表示）．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律求出电场强度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出磁感应强度．
（3）粒子沿直线AC运动，粒子做匀速直线运动，由平衡条件可以求出电场强度．

解答 解：（1）由题意知粒子在电场中做类平抛运动，沿初速度方向和电场力方向的位移大小均为$\frac{L}{2}$，则
$\frac{L}{2}$=v₀t                                           
$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}$at²                                             
qE=ma                                                    
所以E=$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$．
（2）由题意知粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为 r=$\frac{L}{2}$，
由牛顿第二定律得：qv₀B=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
所以B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$．
（3）粒子应做匀速直线运动，受力如图所示，其中θ=45°，设E′与AB方向夹角为α，
qE′sinα=qE+qv₀B sinθ                  
qE′cosα=qv₀B cosθ                       
∴tanα=2$\sqrt{2}$+1                     
E′=$\frac{2\sqrt{5+2\sqrt{2}}m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$．
答：（1）匀强电场的电场强度为$\frac{4m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）E′的大小为$\frac{2\sqrt{5+2\sqrt{2}}m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$，方向与AB方向夹角的正切值为2$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，知道粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，在电磁场中做匀速直线运动，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律与平衡条件即可正确解题．