Question

8．如图甲所示，在xOy平面内有足够大的匀强电场，电场方向竖直向上，电场强度E=40N/C，在y轴左侧区域内有足够大的瞬时磁场，磁感应强度B₁随时间t变化的规律如图乙所示，15πs后磁场消失，选定磁场方向垂直纸面向里为正方向．在y轴右侧区域内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场，分布在一个半径为r=0.3m的圆形区域内（图中未画出），且圆形区域的边界与y轴相切，磁感应强度B₂=0.8T．t=0时刻，一质量为m=8×10^-4kg、电荷量q=2×10^-4C的带正电微粒从x轴上x_p=-0.8m处的P点以速度v=0.12m/s沿x轴正方向发射．（重力加速度g取10m/s²）

（1）求微粒在第二象限运动过程中与y轴、x轴的最大距离；
（2）若微粒穿过y轴右侧圆形磁场时，速度方向的偏转角度最大，求此圆形磁场的圆心坐标（x，y）；
（3）求微粒穿过y轴右侧圆形磁场所用的时间．

Answer 1

分析 （1）根据电场力等于重力，则洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，得出半径与周期公式．并根据几何关系与运动学公式的位移，即可求解；
（2）根据粒子做匀速圆周运动，求出半径．从而得出与已知长度的函数关系，最终求出M点的坐标；
（3）根据圆磁场与运动圆形轨迹，应用粒子做圆周运动的周期求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）微粒发射后受到电场力、重力和洛伦兹力作用，
F_电=Eq=8×10^-3N，G=mg=8×10^-3N，则：F_电=G，
微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，代入数据解得：R₁=0.6m，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，代入数据解得：T=10πs，
由题图乙可知在0-5πs内微粒在第二象限做匀速圆周运动，
在5π-10πs内微粒向左做匀速直线运动，运动位移：x₁=v$\frac{T}{2}$，解得：x₁=0.6πm，
在10π-15πs内，微粒又做匀速圆周运动，15πs以后向右做匀速直线运动，最后穿过y轴．
所以，微粒与y轴的最大距离：s=0.8m+x₁+R₁=（1.4+0.6π）m，微粒与x轴的最大距离：s′=4R₁=2.4m；
（2）如图所示，微粒在磁场中做匀速圆周运动时，微粒穿过圆形磁场的偏转角最大，
入射点A与出射点B的连线必为圆形磁场的直径，微粒在圆形磁场内做圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB₂=$\frac{m{v}^{2}}{{R}_{2}}$，代入数据解得：R₂=0.6m=2r，
由几何关系可得最大偏转角：θ=60⁰ 圆心坐标：x=0.30m，
y=s′-rcos60°=2.4m-0.3m×$\frac{1}{2}$=2.25m，
即圆形磁场的圆心坐标为（0.30，2.25）；
（3）粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{T}{6}$=$\frac{1}{6}$×$\frac{2πmt}{q{B}_{2}}$=$\frac{5}{3}$πs；
答：（1）微粒在第二象限运动过程中与y轴的最大距离为（1.4+0.6π）m，微粒与x轴的最大距离为2.4m；
（2）若微粒穿过y轴右侧圆形磁场时，速度方向的偏转角度最大，此圆形磁场的圆心坐标为（0.30m，2.25m）；
（3）微粒穿过y轴右侧圆形磁场所用的时间为$\frac{5}{3}$πs．

点评 本题是力学与电学综合题，根据匀速圆周运动的规律与几何关系相结合，同时运用力学与电学的知识来解题，从而培养学生分析问题的方法，提升解题的能力．