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【题目】如图所示,AOB是游乐场中的滑道模型,它位于竖直平面内,由两个半径都是R的1/4圆周连接而成,它们的圆心O1、O2与两圆弧的连接点O在同一竖直线上.O2B沿水池的水面,O2和B两点位于同一水平面上.一个质量为m的小滑块可由弧AO的任意位置从静止开始滑下,不计一切摩擦.

(1)假设小滑块由A点静止下滑,求小滑块滑到O点时对O点的压力;

(2)凡能在O点脱离滑道的小滑块,其落水点到O2的距离在什么范围内;

(3)若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中,在两个圆弧上滑过的弧长相等,则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处(用该处到O1点的连线与竖直线的夹角的三角函数值表示).

【答案】(1)3mg,方向竖直向下(2)R≤x≤2R(3)见解析

【解析】

试题分析:(1)mgR=mv2FN-mg=mv2/R联立得:FN=3mg

由牛顿第三定律得:压力大小为3mg,方向竖直向下.

(2)从A点下滑的滑块到O点的速度为,即最大速度v2=,设能脱离轨道的最小速度为v1

则有:mg=,

得:v1=

由R=gt2x=vt

解得xmin=Rxmax=2R

所以所求距离:R≤x≤2R

(3)如图所示,设滑块出发点为P1,离开点为P2,按题意要求O1P1、O2P2与竖直方向的夹角相等,设其为θ,若离开滑道时的速度为v,则滑块在P2处脱离滑道的条件是

由机械能守恒2mgR(1-cosθ)=mv2

联立解得cosθ=

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