Question

7．在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场实现对带电粒子运动的控制，如图甲所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间作周期性变化的图象如图乙所示，周期为7t₀，y轴正方向为E的正方向，垂直纸面向外为B的正方向，在t=0时刻从坐标原点由静止释放一个质量为m，电荷量为+q的粒子，当B₀=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$时，粒子沿某轨道做周期性运动，图中E₀、t₀已知，不计粒子的重力，试求：

（1）t₀时刻粒子位置的纵坐标y₁及3t₀时刻粒子的速度大小v
（2）改变B₀的大小，仍要使粒子做周期性运动，B₀的可能取值；
（3）在（2）的情况下，粒子速度沿y轴负方向时横坐标x的可能值．

Answer 1

分析 （1）0-t₀内粒子做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列式求解t₀时刻粒子位置的纵坐标y₁；t₀-2t₀时间内粒子做圆周运动，根据半径公式和周期公式确定运动，同理求出粒子在3t₀时刻的速度；
（2）根据洛伦兹力提供向心力列式求解轨道半径，由圆周运动公式求得周期；
（3）粒子奇数秒内做类似平抛运动，偶数秒内做匀速圆周运动，轨道半径逐渐增大，画出轨迹．求出粒子速度沿y轴负方向时横坐标x的可能值．．

解答 解：（1）0-t₀内粒子做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得：
qE₀=ma
又：${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
所以：${y}_{1}=\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{2m}$
t₀-2t₀时间内粒子做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得：
$q{v}_{1}{B}_{0}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
周期：$T=\frac{2π{r}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
将B₀=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$代入得：T=4t₀
所以在t₀-2t₀时间内粒子运动$\frac{1}{4}$圆周，角度转过90°，运动的方向与电场的方向垂直，则2t₀-3t₀时间内粒子将做类平抛运动，t₀时刻粒子的速度：v₁=at₀
3t₀时刻粒子的沿电场方向的分速度：v_y=at₀
3t₀时刻粒子的速度：${v}_{3}=\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}a{t}_{0}=\frac{\sqrt{2}q{E}_{0}{t}_{0}}{m}$
由于两个方向的分速度大小相等，所以粒子速度的方向与+x方向和-y方向的夹角都是45°．
（2）在3t₀-4t₀时间内粒子做圆周运动，粒子运动$\frac{1}{4}$圆周，角度转过90°；
在4t₀-5t₀时间内粒子在-x方向做匀速直线运动，在-y方向做匀减速直线运动，在t=5t₀时刻在y方向的分速度等于0，在5t₀-6t₀时间内粒子做圆周运动，粒子运动$\frac{1}{4}$圆周，角度转过90°，在6t₀时刻粒子运动到y轴，速度沿+y方向；
改变B₀的大小，若仍然要粒子做周期性的运动，则应满足：
${t}_{0}=（n+\frac{1}{4}）T$（n=0，1，2，3…）
联立得：${B}_{0}=（n+\frac{1}{4}）\frac{2πm}{q{t}_{0}}$（n=0，1，2，3…）
（3）在t=t₀时刻进入磁场的粒子做匀速圆周运动，运动的速度为v₁，则：
v₁=at₀
$q{v}_{1}{B}_{0}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{r}$
粒子运动的轨迹如图，结合（2）的分析可知，速度沿y轴负方向的位置有M、N、P点，M、N点对应的坐标：
x₁=2r
解得：${x}_{1}=\frac{4q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{πm（4n+1）}$（n=0，1，2，3…）
P点对应的横坐标：${x}_{2}=r+{v}_{1}{t}_{0}+（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）r′$
由于：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{r′}$
解得：${x}_{2}=[1+\frac{2\sqrt{2}}{π（4n+1）}]\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{m}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）t₀时刻粒子位置的纵坐标是$\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{2m}$，3t₀时刻粒子的速度大小是$\frac{\sqrt{2}q{E}_{0}{t}_{0}}{m}$；
（2）改变B₀的大小，仍要使粒子做周期性运动，B₀的可能取值为$（n+\frac{1}{4}）\frac{2πm}{q{t}_{0}}$（n=0，1，2，3…）；
（3）在（2）的情况下，粒子速度沿y轴负方向时横坐标x的可能值是${x}_{1}=\frac{4q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{πm（4n+1）}$（n=0，1，2，3…）或${x}_{2}=[1+\frac{2\sqrt{2}}{π（4n+1）}]\frac{q{E}_{0}{t}_{0}^{2}}{m}$（n=0，1，2，3…）．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的受力情况，确定其运动情况，关键是运用几何知识求解坐标．