Question

7．如图所示，质量为m=1kg的可视为质点的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到A点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑，圆弧轨道与质量为M=4kg的足够长的小车左端在最低点O相切，并在O点滑上小车，水平地面光滑，当物块运动到障碍物Q处与Q发生无机械能损失的碰撞．碰撞前物块和小车已经相对静止，而小车可继续向右运动（物块始终在小车上），小车运动过程中和圆弧无相互作用．已知圆弧半径R=3.0m，圆弧对应的夹角θ=53°，A点距水平面的h=0.8m，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．试求：
（1）小物块离开A点的水平初速度v₁；
（2）小物块经过O点时对轨道的压力（保留三位有效数字）；
（3）第一次碰撞后直至静止，物块相对小车的位移和小车做匀减速运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）利用平抛运动规律，在B点对速度进行正交分解，得到水平速度和竖直方向速度的关系，而竖直方向速度V_y²=2gh显然易求，则水平速度可解．
（2）首先利用动能定理解决物块在最低点的速度问题，然后利用牛顿第二定律在最低点表示出向心力，则滑块受到的弹力可解．根据牛顿第三定律可求对轨道的压力．
（3）第一次碰撞后，滑块以原速率返回，小车减速，当滑块速度减为零后反向加速度时，小车仍然减速，知道两者速度相同，一起向右；之后重复这个过程，小车与滑块有相对滑动的过程中，小车匀减速；根据功能关系列式求相对路程，根据速度时间关系公式求解小车的减速时间．

解答 解：（1）对小物块由A到B有：v${\;}_{y}^{2}$=2gh            
在B点：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$                               
解得v₁=3 m/s                                    
（2）由A到O，根据动能定理有：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=mg（h+R-Rcosθ）                     
解得：v₀=7 m/s
在O点：F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$                           
解得：F_N=26.3 N                                         
故压力F_N′=26.3 N                                   
（3）摩擦力F_f=μmg=1 N
物块滑上小车后经过时间t达到的共同速度为v_t，则
t=$\frac{vt}{{a}_{M}}$=$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{m}}$，得v_t=1.4 m/s                        
由于碰撞不损失能量，物块在小车上重复做匀减速和匀加速运动，相对小车始终向左运动，物体与小车最终静止，摩擦力做功使动能全部转化为内能，故有：
F_f•l_相=$\frac{1}{2}$（M+m）v${\;}_{t}^{2}$，得l_相=4.9 m                      
小车从物块碰撞后开始匀减速运动，（每个减速阶段）加速度a不变
a_M=$\frac{{F}_{f}}{M}$=0.25 m/s²
v_t=a_Mt，得t=5.6 s     
答：（1）小物块离开A点的水平初速度为3m/s；
（2）小物块经过O点时对轨道的压力为26.3N；
（3）第一次碰撞后直至静止，物块相对小车的位移为4.9m，小车做匀减速运动的总时间为5.6s．

点评 本题前两问是一个单物体多过程的力学问题，把复杂的过程分解成几个分过程是基本思路；第三问是一个多过程问题，要分析清楚两个物体的运动情况，然后根据运动学公式和功能关系列式求解．