Question

13．如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按E=kx分布（x是轴上某点到O点的距离），k=$\frac{mg}{3qL}$．x轴上，有一长为L的绝缘细线连接A、B两个小球，两球质量均为m，B球带负电，带电量为 q，A球距O点的距离为L．两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用．
（1）求A球的带电量q_A；
（2）将A、B间细线剪断，描述B球的运动情况，并分析说明理由；
（3）剪断细线后，求B球的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）选取AB组成的整体为研究的对象，写出平衡方程，即可求得A的电量；
（2）剪断细线后，B球的先向下做加速运动，随受到的电场力的增大，加速度减小，所以B球做加速度减小的加速运动；当电场力大于重力之后，小球B做减速运动，直至返回．根据它受力和运动即可判断
（3）根据电场强度大小按E=kx分布，画出A球所受电场力F与x的图象；当A球受到的重力与电场力相等时，受到最大；根据动能定理即可求得A球运动的最大速度；

解答 解：（1）A、B两球静止时，A球所处位置场强为${E}_{1}=kL=\frac{mg}{3q}$
B球所处位置场强为${E}_{2}=k•2L=\frac{2mg}{3q}$     
对A、B由整体法得：2mg+q_AE₁-qE₂=0
解得：q_A=-4q                    
（2）剪断细线后，B球初始受到合力F=mg-$\frac{2}{3}$mg=$\frac{1}{3}$mg，方向竖直向下，B球开始向下运动；
运动后，B球受力为F_合=mg-kxq，随x增大，F_合减小，所以B球做加速度减小的加速运动；
当F_合减小为零时，B球速度达到最大，继续向下运动，F_合方向向上，并逐渐增大，B球做加速度增大的减速运动．
当速度减小为零后，此时电场力大于重力，B球反向运动，最终B球做往复运动．
（3）当B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x₀
$mg=qEq\frac{mg}{3qL}{x}_{0}$      解得：x₀=3L
当B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为3L
运动过程中，电场力大小线性变化，所以由动能定理得：
$，gL-\overline{E}qL=\frac{1}{2}{mv}_{m}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
$\overline{E}q=\frac{\frac{2}{3}mg+mg}{2}=\frac{5}{6}mg$
解得：v_m=$\sqrt{\frac{gL}{3}}$                       
答：（1）求A球的带电量q_A为-4q
（2）B球做往复运动
（3）剪断细线后，求B球的最大速度v_m为$\sqrt{\frac{gL}{3}}$

点评 该题中，两个小球受到的力是变力，要根据它们受力变化的规律，正确分析得出它们运动的规律，然后才能做出正确的结论．题目的难度比较大．