Question

11．天宫一号是我国研发的一个目标飞行器，目的是作为其他飞行器的接合点，是中国空间实验室的雏形，于北京时间2011年9月29日21时16分03秒发射升空．
（1）若万有引力常量为G，地球质量为M_D，地球半径为R_D，天宫一号离地面的高度为H，求：天宫一号的运行周期T；
（2）发射天宫一号的速度必须大于第一宇宙速度，试推导第一宇宙速度的表达式；若R_D=6370km，g取9.8m/s²，求出第一宇宙速度的值；
（3）若万有引力常量为G，中心天体的质量为M，质量为m的物体距中心天体r时具有的引力势能为E_P=-G$\frac{Mm}{r}$（以无穷远处势能为0）
①求出第二宇宙速度的值；
②若把地球绕太阳公转的轨道近似认为是圆，且不计其它星体对飞行物体的作用力，地球的公转速度为29.8km/s，求第三宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）飞行器绕地球做匀速圆周运动的过程中，由地球的万有引力等于向心力求解天宫一号运行的周期；
（2）绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，可认为其轨道半径是地球的半径R，可利用万有引力提供它做圆周运动的向心力来进行求解；
（3）由 G$\frac{{{M_D}m}}{R_D^2}$=m$\frac{v^2}{R_D}$可得：G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=mv²，根据动能定理求出摆脱地球的约束所需要的速度即为第二宇宙速度，同理求出摆脱太阳的约束速度，由于随地球绕太阳公转的物体已具有地球的公转速度29.8km/s，则只需沿太阳公转方向的速度达到 v_w=v_Tx-v_T即可，又因为发射地球表面的物体还需摆脱地球约束的动能$\frac{1}{2}$mv₂²，再根据动能定理求解．

解答 解：（1）飞行器绕地球做匀速圆周运动的过程中，由地球的万有引力提供等于向心力得：
G$\frac{{{M_D}m}}{{{{（{{R_D}+H}）}^2}}}$=m$\frac{{4{π^2}}}{T^2}$（R_D+H）
解得：T=2π（R_D+H）$\sqrt{\frac{{R{\;}_D+H}}{{G{M_D}}}}$
（2）绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，万有引力等于重力并提供向心力，则有G$\frac{{{M_D}m}}{R_D^2}$=m$\frac{v^2}{R_D}$=mg
则第一宇宙速度  v=$\sqrt{\frac{{GM{\;}_D}}{R_D}}$=$\sqrt{g{R_D}}$
代入数据得：v=$\sqrt{g{R_D}}$=7.9 km/s    
（3）由 G$\frac{{{M_D}m}}{R_D^2}$=m$\frac{v^2}{R_D}$可得：G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=mv²
若摆脱地球的约束，则有：$\frac{1}{2}$mv₂²-G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=0  可得：v₂=$\sqrt{2}$v=11.2 km/s
同理：在地球绕太阳公转轨道运行的物体绕太阳做圆运动时
G$\frac{{{M_T}m}}{R_T^2}$=m$\frac{{{v}_{T}}^{2}}{{R}_{T}}$
G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=m${v}_{D}^{2}$
v_T=29.8 km/s
摆脱太阳的约束速度为v_Tx
$\frac{1}{2}$mv_Tx²-G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=0     
v_Tx=$\sqrt{2}$v_T=42.2 km/s
由于随地球绕太阳公转的物体已具有地球的公转速度29.8km/s，则只需沿太阳公转方向的速度达到  v_w=v_Tx-v_T=12.4 km/s  即可
又因为发射地球表面的物体还需摆脱地球约束的动能$\frac{1}{2}$mv₂²
则：发射地球表面的物体摆脱太阳约束的第三速度为v₃
有    $\frac{1}{2}$mv₃²=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$mv_w²
解得：v₃=16.7 km/s      
答：（1）天宫一号的运行周期为2π（R_D+H）$\sqrt{\frac{{R{\;}_D+H}}{{G{M_D}}}}$；
（2）第一宇宙速度的表达式为v=$\sqrt{g{R_D}}$；若R_D=6370km，g取9.8m/s²，第一宇宙速度的值为7.9 km/s；
（3）①第二宇宙速度的值为11.2 km/s；
②若把地球绕太阳公转的轨道近似认为是圆，且不计其它星体对飞行物体的作用力，地球的公转速度为29.8km/s，第三宇宙速度为16.7 km/s．

点评 万有引力提供卫星做圆周运动的向心力是解决这类题目的突破口，找出需要的数据列万有引力定律提供向心力公式解题，本题要求同学们知道三大宇宙速度的意义及求法，难度适中．