Question

12．如右图所示，在矩形ABCD区域内，对角钱BD以上的区域存在有平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在有垂直于纸面的匀强磁场（图中未标出），矩形AD边长L，AB边长为2L．一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子（重力不计）以初速度v_o从A点沿AB方向进入电场，在对角线BD的中点P处进入磁场，并从DC边上以垂直于DC边的速度离开磁场（图中未画出），求：
（1）电场强度E的大小？
（2）带电粒子经过P点时速度v的大小和方向？
（3）磁场的磁感应强度B的大小和方向？

Answer 1

分析 （1）（2）带电粒子进入电场做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，到达P点后，水平位移是竖直位移的$\sqrt{2}$倍，抓住这一关系，求出电场强度的大小．在竖直方向上做匀变速运动，根据运动学公式求出竖直方向速度，再根据运动的合成和分解规律求出速度，根据两分速度的关系求出夹角；
（3）作出进入磁场的轨迹图，确定出圆心，根据几何关系得出半径，根据洛伦兹力提供向心力，通过半径公式，求出磁感应强度B的大小，根据洛伦兹力的方向确定出磁场的方向．

解答 解：（1）（2）带电粒子受电场力作用做类平抛运动，
在竖直方向上：$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$at²，
在水平方向上：L=v₀t，
由牛顿第二定律得：Eq=ma，
解得：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，
场强为：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
在竖直方向上做匀变速运动，Y方向分速度为v_y，
v_y²=2a•$\frac{L}{2}$，
解得：v_y=v₀，
到P点时速度为：V=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
速度与水平方向的夹角θ满足：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，
此时速度与水平方向的夹角为θ=45°；
（3）由几何关系可知：粒子在磁场中转过的圆心角为45°   
sin45°=$\frac{\frac{L}{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直纸面向外．
答：（1）场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）粒子经过P点时速度v的大小为$\sqrt{2}$v₀，速度与水平方向的夹角为θ=45°；
（3）磁场的磁感应强度B的大小为：$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直纸面向外

点评 本题重点考查带电粒子在匀强电场中的类平抛和匀强磁场中的匀速圆周运动，以及运用数学知识解决物理问题的能力；要明确粒子在电场中运动时一般根据运动的合成和分解规律求解；而在磁场中运动时要注意分析粒子的运动轨迹，确定圆心和半径，再利用洛伦兹力充当向心力求解．