Question

如图所示，Ⅰ、Ⅱ区域是宽度均为L=0.5m的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T，方向相反．一边长L=0.5m、质量m=0.1kg、电阻R=0.5Ω的正方形金属线框，在外力作用下，以初速度v₀=10m/s匀速穿过磁场区域．
（1）取逆时针方向为正，作出i-t图象；
（2）求线框穿过磁场区域的过程中外力做的功；
（3）若不施加外力，确定线框最终停止的位置．

Answer 1

分析：（1）将线框穿过磁场的过程分成三段，分别根据感应电动势公式求出感应电动势，由右手定则判断感应电流方向．作出i-t图象．
（2）线框匀速穿过磁场区域时，外力做功等于线框中产生的焦耳热．
（3）若不施加外力，线框进入磁场后受到安培力，根据牛顿第二定律列出加速度表达式，将a=

△v

△t

代入，并求和，采用积分法求出线框通过Ⅰ的过程线框的末速度，再对线框进入Ⅱ的过程，运用积分法求解线框进入磁场后运动的位移大小．

解答： 解：
（1）感应电流I₁=

BLv

R

=10A，逆时针方向取正值；时间间隔t₁=0.05s
   I₂=

2BLv

R

=20A，顺时针方向取负值；时间间隔t₂=0.05s
   I₃=

BLv

R

=10A，逆时针方向取正值；时间间隔t₃=0.05s
电流随时间变化关系如图所示．
（2）因为线框匀速运动，所以外力做的功等于电流做的功
W=

I

2 1

Rt1+

I

2 2

Rt2+

I

2 3

Rt3=15J
（3）没有外力时，线框在安培力作用下做变减速运动
线框通过Ⅰ的过程中：-

B2L2v

R

=ma
即-

B2L2

R

v△t=m△v
-

B2L2

R

△x=m△v
得到-

B2L2

R

△x=m△v
解得，v₁=7.5m/s
线框进入Ⅱ的过程中：-

4B2L2v

R

=ma=m

△v

△t

即-

4B2L2v

R

△t=m△v
-

4B2L2

R

△x=m△v
解得，x₂=0.375m
即线框进入磁场后运动x=x₁+x₂=0.875m．
答：
（1）取逆时针方向为正，作出i-t图象如图；
（2）线框穿过磁场区域的过程中外力做的功为15J；
（3）若不施加外力，线框进入磁场后运动0.875m停止．

点评：本题难点是运用积分法求解非匀变速运动的速度和位移，关键从牛顿第二定律入手，根据加速度的定义式a=

△v

△t

分析．