Question

（2011?天门二模）如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，质量为2kg，管长为24m，M、N为空管的上、下两端，空管受到F=16N竖直向上的拉力作用，由静止开始竖直向下做加速运动，同时在M处一个大小不计的小球沿管的轴线以初速度v₀竖直上抛，不计一切阻力，取g=10m/s²．求：
（1）若小球上抛的初速度为10m/s，经过多长时间从管的N端穿出？
（2）若此空管的N端距离地面64m高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度v₀大小的范围．

Answer 1

分析：（1）对于这类相对运动问题注意选择参照系，以地面为参照系，二者均做匀变速直线运动，最后小球穿出时，二者位移差为管长L，据此列方程可正确求解．
（2）小球下落时，要保证落入空管就要在空管下落的时间内其位移大于64m，同时还要要求在下落期间，小球不能提前落地，即小于h+L=88m，据此列方程即可解答．

解答：解：（1）以向下方向为正方向．
对空管，由牛顿第二定律可得：：mg-F=ma，得：a=2m/s²
设经t时间，小球从N端穿出，小球下落的高度：
h1=-v0t+

1

2

gt2
空管下落的高度：
h2=

1

2

at2
则，h₁-h₂=L
联立得：
-v0t+

1

2

gt2-

1

2

at2=L
代入数据解得：t=4s，t=-1.5s（舍）
故小球经过4s时间从管内穿出．
（2）设小球初速度v₀，空管经t'时间到达地面，则：
H=

1

2

a(t′)2，得：t′=

2H a

=8s
小球在t′时间下落高度为：
h=v0t′+

1

2

g(t′)2
小球落入管内的条件是：64m≤h≤88m 
解得：29m/s≤v₀≤32m/s
所以小球的初速度大小必须在29m/s到32m/s范围内．
故小球速度的范围为：29m/s≤v₀≤32m/s．

点评：本题有一定的难度，考查了多物体多过程问题，只要把握了两物体之间的位移关系，就找到了解决问题的突破口．