Question

如图所示，质量M，半径R的光滑半圆槽第一次被固定在光滑水平地面上，质量为m的小球，以某一初速度冲向半圆槽刚好可以到达顶端C．然后放开半圆槽．其可以自由运动，m小球又以同样的初速冲向半圆槽，小球最高可以到达与圆心等高的B点，（g=10m/s²）
试求：
①半圆槽第一次被固定时，小球运动至C点后平抛运动的水平射程X=？
②小球质量与半圆槽质量的比值m/M为多少？

Answer 1

分析：1、在C点刚好由重力提供向心力，可解出在C点的速度，小球由C点开始做平抛运动，根据平抛运动的位移公式可求解水平射程X．
2、半圆槽第一次被固定时，对小球运用动能定理-2mgR=

1

2

mv12-

1

2

mv02．
然后放开半圆槽后，m小球又以同样的初速冲向半圆槽，对m、M系统根据动量守恒定律、动能定理有：
mv₀=（m+M）v₂
-mgR=

1

2

(m+M)v22-

1

2

mv02
根据以上三个方程化简，即可解出小球质量与半圆槽质量的比值．

解答：解：①小球刚好可以到达顶端C，说明刚好由重力提供向心力
mg=m

v12

R

所以到达C点时的速度为v1=

gR

小球由C点做平抛运动
竖直方向上的位移y=2R=

1

2

gt2
所以运动的时间为t=

4R g

水平方向上的位移x=v₁t=

gR

?

4R g

=2R
②半圆槽第一次被固定时，对小球运用动能定理-2mgR=

1

2

mv12-

1

2

mv02
解得v02=5gR
然后放开半圆槽后，m小球又以同样的初速冲向半圆槽，
对m、M系统根据动量守恒定律：
mv₀=（m+M）v₂
所以v2=

mv0

m+M

=

m

m+M

5gR

对m、M系统根据动能定理有：
-mgR=

1

2

(m+M)v22-

1

2

mv02
所以-mgR=

1

2

(m+M)?(

m

m+M

5gR

)2-

1

2

m?5gR
化简得

m

M

=

3

2

答：①半圆槽第一次被固定时，小球运动至C点后平抛运动的水平射程X=2R．
②小球质量与半圆槽质量的比值为

m

M

=

3

2

．

点评：解答此题的关键能够分析在哪些过程运用动量守恒定律，哪些过程运用能量守恒定律或动能定理，难点是抓住小球到B点时沿水平向右两者有共同速度．