Question

15．如图所示，在xOy平面内以O为圆心、R为半径的圆形区域I内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₁=$\frac{mv}{qR}$；一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v从A（R，0）点沿x轴负方向第一次进入磁场区域I，再从区域I进入同心环形匀强磁场区域Ⅱ，为使粒子经过区域Ⅱ后能从Q点第二次回到区域Ⅰ，需在区域Ⅱ内加以垂直于纸面向里的匀强磁场．已知OQ与x轴负方向成30°角，不计粒子重力．试求：
（1）环形区域Ⅱ跟圆形区域Ⅰ中的磁场的磁感应强度大小之比；
（2）粒子从A点出发到再次经过A点所用的最短时间．

Answer 1

分析 （1）由洛仑兹力提供向心力先求出带电粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径，从而判断出粒子从何处离开磁场．在Ⅱ区内做匀速圆周运动经过Q点时，由几何关系就能求出在环状区域内做匀速圆周运动的半径，再由洛仑兹力提供向心力就可求出环状磁场的磁感应强度大小．
（2）从A点向圆心O射入，经过Ⅰ、Ⅱ两次匀速圆周运动从Q点向圆心O方向射入，此过程向圆心方向进入时偏转150°，若经过m次的如此偏转最后在进入Ⅰ后经90°偏转恰恰经过A点，总共转过n周，列出一个二元一次方程，解出整数解，从而可以求出总时间．

解答 解：（1）粒子在区域Ⅰ内做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力
    ${B}_{1}qv=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
   将B₁=$\frac{mv}{qR}$代入上式得：r₁=R
   由此可判断粒子从点（0，R）没y轴正方向向上进入磁场Ⅱ区，由题意在
  磁场Ⅱ区做匀速圆周运动后从Q点再进入Ⅰ区，画出粒子的轨迹如图，
  由几何关系有：r₂=r₁tan30°
  洛仑兹力提供向心力有：
   ${B}_{2}qv=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$  
  联立以上几式可得：$\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\sqrt{3}$
（2）当粒子由内侧劣弧经过A点时，应满足   150°n+90°=360°m
  当m=4时，n=9时间最短
在磁场Ⅰ区的时间${t}_{1}=10×\frac{1}{4}{T}_{1}=10×\frac{1}{4}×\frac{2πR}{v}=\frac{5πR}{v}$

在磁场Ⅱ区的时间${t}_{2}=9×\frac{2}{3}{T}_{2}=9×\frac{2}{3}×\frac{2π\frac{\sqrt{3}}{3}R}{v}=\frac{4\sqrt{3}πR}{v}$
所以再次回到A点的最短时间为$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（5+4\sqrt{3}）πR}{v}$．
答：（1）环形区域Ⅱ跟圆形区域Ⅰ中的磁场的磁感应强度大小之比为$\sqrt{3}$．
（2）粒子从A点出发到再次经过A点所用的最短时间为$\frac{（5+4\sqrt{3}）πR}{v}$．

点评 本题的靓点在于第二问：经过多少次如此偏转第一次回到A点，我们可以找一个参考点，即向着圆心O的方向射入时为初始状态，经过Ⅰ、Ⅱ区的两次偏转后第一次向圆心方向射入时已在初始状态转过150°，设经m次偏转后向圆心方向射入在Ⅰ区最后偏转90°恰恰到达A点，此时已转过n转（即n×360°），列二元方程解出整数解．那么最短时间就是在两个磁场区域内时间之和．