Question

20．如图所示，质量为M的支座上的O点穿有一水平细钉，钉上套一长为L的细线，线的另一端拴一质量为m的小球．让小球在竖直面内做圆周运动，求：
（1）当小球运动到最高点时，如果支座对地面的压力恰好为零，绳对小球的拉力多大？
（2）第一问状态下小球的线速度大小为多少？
（3）当小球运动到最高点时，如果支座对地面的压力恰好等于Mg，则此时小球的线速度大小为多少？（重力加速度为g）

Answer 1

分析 （1）当小球运动到最高点时，由重力和细线的拉力的合力充当向心力，支座对地面的压力恰好为零，绳对小球的拉力等于支座的重力．
（2）由向心力公式可求得小球的线速度大小；
（3）分析支座的受力情况，根据支座的平衡状态和小球的受力情况，由牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）以支座为研究对象，当支座对地面的压力为零时，支座只受到重力Mg和细线对支座竖直向上的拉力T₁的作用（如图）．

由二力平衡得绳对小球的拉力 T₁=Mg
（2）以小球为研究对象，小球受细线的拉力T₂和重力mg（如图），以向心加速度方向为正，由牛顿第二定律得：
Mg${T_2}+mg=m\frac{v^2}{L}$…①
又知T₁与T₂大小相等 有：T₂=Mg…②
由①②式解得：$v=\sqrt{\frac{（M+m）}{m}gL}$
（3）如果支座对地面的压力恰好等于Mg，则地面对支座的支持力为：F_N=Mg
受力分析可以得出，此时T₁=T₂=0，

小球运动到最高点时，只有重力mg来充当向心力，
以向心加速度方向为正，由牛顿第二定律得：$mg=m\frac{v^2}{R}$   
则：$v=\sqrt{gL}$
答：
（1）当小球运动到最高点时，如果支座对地面的压力恰好为零，绳对小球的拉力是Mg．
（2）第一问状态下小球的线速度大小为$\sqrt{\frac{（M+m）gL}{m}}$．
（3）当小球运动到最高点时，如果支座对地面的压力恰好等于Mg，则此时小球的线速度大小为$\sqrt{gL}$

点评 小球在竖直面内圆周运动一般会和机械能守恒或动能定理结合考查，要注意临界值的应用及正确列出机械能的表达式．