Question

19．如图所示，半径为r、圆心为O₁的虚线所围的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有一坚直放置的平行金属板M和N，两板间距离为L，在MN板中央各有一个小孔O₂、O₃，O₁、O₂、O₃在同一水平直线上，与平行金属板相接的是两条竖直放置间距为L的足够长的光滑金属导轨，导体棒PQ与导轨接触良好，与阻值为R的电阻形成闭合回路（导轨与导体棒的电阻不计），该回路处在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个装置处在真空室中，有一束电荷量为+q、质量为m的粒子流（重力不计），以速率v₀从圆形磁场边界上的最低点E沿半径方向射入圆形磁场区域，最后从小孔O₃射出．现释放导体棒PQ，其下滑h后开始匀速运动，此后粒子恰好不能从O₃射出，而从圆形磁场的最高点F射出．求：
（1）圆形磁场的磁感应强度B′；
（2）导体棒的质量M；
（3）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热；
（4）粒子从E点到F点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子从E射入圆形磁场区域，从小孔O₃射出，在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识求出半径，再由牛顿定律求出B．
（2）粒子恰好不能从O₃射出时，到达O₃速度为零．根据动能定理求出此时板间电压，由平衡条件求出质量M．
（3）能量守恒定律求得电阻上产生的电热．
（4）根据轨迹，逐段求出时间，再求总时间．

解答 解：（1）粒子由E到O₂过程中作半径为r的匀速圆周运动，则：
qv₀B′=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$        
解得：B′=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$                         
（2）设PQ棒匀速下滑时棒的速度为v，此时MN板间的电压为U，由题意有：
 $\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=qU               
解得：U=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$
由力平衡得：Mg=B$\frac{U}{R}L$                    
解得：M=$\frac{BLm}{2gqR}{{v}_{0}}^{2}$                           
（3）U=E=BLv              
由能量守恒：Mgh=$\frac{1}{2}$Mv²+Q_R                          
联立上述方程解得产生的电热：Q_R=$\frac{BLmh}{2qR}{{v}_{0}}^{2}-\frac{{m}^{3}{{v}_{0}}^{6}}{16gBLR{q}^{3}}$
（4）粒子在圆形磁场内的运动时间t₁：t₁=$2×\frac{T}{4}=\frac{πr}{{v}_{0}}$
粒子在电场中往返运动的时间t₂：由 L=$\frac{{v}_{0}}{2}•\frac{{t}_{2}}{2}$得 ${t}_{2}=\frac{4L}{{v}_{0}}$    
故粒子从E点到F点所用的时间：t=t₁+t₂=$\frac{πr+4L}{{v}_{0}}$
答：（1）圆形磁场的磁感应强度B′为$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（2）导体棒的质量M为$\frac{BLm}{2gqR}{{v}_{0}}^{2}$；
（3）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热为$\frac{BLmh}{2qR}{{v}_{0}}^{2}-\frac{{m}^{3}{{v}_{0}}^{6}}{16gBLR{q}^{3}}$；
（4）粒子从E点到F点所用的时间为$\frac{πr+4L}{{v}_{0}}$．

点评 本题是粒子在磁场中匀速圆周运动和电磁感应的综合．磁场中圆周运动常用方法是画轨迹，由几何知识求半径．