Question

14．如图所示，在水平转台的光滑水平横杆上穿有两个质量分别为2m和m的小球A和B，A、B间用劲度系数为k的轻质弹簧连接，弹簧的自然长度为L，当转台以角速度ω绕竖直轴匀速转动时，如果A、B仍能相对横杆静止而不碰左右两壁，求：
（1）A、B两球分别离开中心转轴的距离．
（2）若转台的半径也为L，求角速度ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）两球做圆周运动，角速度相等，靠弹簧的弹力提供向心力，根据向心力的关系结合胡克定律和牛顿第二定律求出距离中心的距离．
（2）抓住B的转动半径小于L，结合B离中心转轴的距离表达式求出角速度的范围．

解答 解：（1）设A、B两球转动时的半径分别为r_A，r_B，弹簧伸长的长度为x
对A球：kx=2mω²r_A   
对B球：kx=mω²r_B
又 r_A+r_B=L+x
解得：${r}_{A}=\frac{kL}{3k-2m{ω}^{2}}$，${r}_{B}=\frac{2kL}{3k-2m{ω}^{2}}$
（2）要使两球都不碰左右两壁 则 r_B＜L
则$ω＜\sqrt{\frac{k}{2m}}$  
答：（1）A、B两球分别离开中心转轴的距离分别为$\frac{kL}{3k-2m{ω}^{2}}$和$\frac{2kL}{3k-2m{ω}^{2}}$．
（2）若转台的半径也为L，角速度ω的取值范围为$ω＜\sqrt{\frac{k}{2m}}$．

点评 解决本题的关键两球的角速度相等，靠弹力提供向心力，根据牛顿第二定律进行求解．