Question

9．如图（甲）所示，x轴上方为一垂直于平面xoy向里的匀强磁场，磁感强度为B，x轴下方为方向平行于x轴，大小恒为E_o，方向作周期性变化的 电场．在坐标为（R，R）的A点和第四象限中某点分别放置的两个质量均为m，电量均为q的正点电荷P和Q，P、Q的重力均不计．现使P在匀强磁场中开始做半径为R的匀速圆周运动，同时释放Q，要使两电荷总是以相同的速度同时通过y轴，求：

（1）场强E_o的大小及方向变化的周期．
（2）在图（乙）的E-t图中作出该电场的变化图象（以释放电荷P时为初始时刻，x轴的正方向作为场强的正方向），要求至少画出两个周期的图象．

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的速度，由周期公式求出粒子运动的周期；
由牛顿第二定律求出电场强度；根据电场强度的变化规律作出图象

解答 解：因电荷Q只能垂直于y轴运动，要使P、Q始终以相同的速度同时通过y轴，则P一定是以坐标（O、R）为圆心做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$v=\frac{qBR}{m}$
通过y轴的速度大小为$v=\frac{qBR}{m}$．圆周运动的周期为${T}_{0}^{\;}=\frac{2πm}{qB}$．
因电荷P从A点出发第一次到达y轴所需的时间为$\frac{T_o}{4}=\frac{1}{4}×\frac{2πm}{2qB}$
那么，在这段时间内，Q必须电场力作用下加速度y轴且速度大小为v，所以
$v=a•\frac{{T}_{0}^{\;}}{4}=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}×\frac{πm}{2qB}$
得${E}_{0}^{\;}=\frac{2Bv}{π}=\frac{2{B}_{\;}^{2}qR}{πm}$
在这段进间内电场的方向向左． 
又P再经过$\frac{T_o}{2}$的时间后第2次向右通过y轴，速度的大小为v，则，由运动学的特片可知，Q在第一次过y轴后，必须先经$\frac{T_o}{4}$的时间反向加速到y轴速度达到v，才能保证Q第二次与P以相同的速度v过y轴，在这段时间内，电场的方向始终向右，此后，应与P作匀称速度圆周运动的周期相同．
即$T={T_o}=\frac{2πm}{qB}$
   （2）E-t图象如右图所示．

答：（1）场强E_o的大小为$\frac{2{B}_{\;}^{2}qR}{πm}$及方向变化的周期$\frac{2πm}{qB}$．
（2）在图（乙）的E-t图中作出该电场的变化图象，如上图所示

点评 解决该题的关键是判断出粒子通过y轴的时间与P运动周期的关系，抓住对称性和周期性是解题的技巧．