Question

16．如图所示，在水平地面上固定一光滑金属导轨，导轨间距离为L，导轨电阻不计，右端接有阻值为R的电阻，质量为m，电阻r=$\frac{1}{2}$R的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有一水平向右的初速度v₀，已知当导体棒第一次回到初始位置时，速度大小变为$\frac{1}{4}$v₀，整个运动过程中导体棒始终与导体垂直并保持良好接触，弹簧的重心轴线与导轨平行，且弹簧始终处于弹性限度范围内．求：
（1）初始时刻通过电阻R的电流I的大小；
（2）导体棒第一次回到初始位置时，导体棒的加速度大小为a；
（3）导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳Q．

Answer 1

分析 （1）根据导体切割磁感线的公式可求得电动势，再由欧姆定律可求得电流大小；
（2）根据F=BIL可求得安培力，再由牛顿第二定律可求得加速度；
（3）明确能量转化关系；根据功能关系可求得R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）初始时刻导体棒的速度为v₀，做切割磁感线运动，产生的电动势为E=BLv₀，
电路中的总电阻为$R'=R+r=\frac{3}{2}R$，
根据欧姆定律可得$I=\frac{E}{R'}=\frac{{2BL{v_0}}}{3R}$
（2）导体棒第一次回到初始位置时，速度为${v_1}=\frac{1}{4}{v_0}$，产生的电流为$I'=\frac{E'}{R'}=\frac{{\frac{1}{4}BL{v_0}}}{{\frac{3}{2}R}}=\frac{{BL{v_0}}}{6R}$
此时弹簧处于原长状态，所以只受安培力作用，安培力为F=BIL，
根据 牛顿第二定律可得$a=\frac{F}{m}$，
联立解得$a=\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{6mR}$
（3）由于没有摩擦力，则导体棒从开始运动直到停止的过程中，导体棒的动能完全转化为电路的焦耳热，故${Q_总}=\frac{1}{2}mv_0^2$，根据电路规律可得电阻R上产生的焦耳$Q=\frac{2}{3}{Q_总}=\frac{1}{3}mv_0^2$，
答：（1）初始时刻通过电阻R的电流I的大小为$\frac{2BL{v}_{0}}{3R}$；
（2）导体棒第一次回到初始位置时，导体棒的加速度大小为a$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{6mR}$
（3）导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳Q为$\frac{1}{3}m{v}_{0}^{2}$．

点评 本题考查导体切割磁感线的规律，要注意弄清运动过程中能量如何转化，并应用能量转化和守恒定律分析解决问题是此题关键，当然右手定则和安培定则也熟练运用．