Question

17．1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．已知“高锟星”半径为R，其表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，在不考虑自转的情况，求解以下问题：（以下结果均用字母表达即可）
（1）卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度；
（2）假设“高锟星”为一均匀球体，试求“高锟星”的平均密度；（球体积V=$\frac{4}{3}$πR³）
（3）假设某卫星绕“高锟星”做匀速圆周运动且运行周期为T，求该卫星距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是近地飞行的卫星的运行速度，根据万有引力提供回击运动向心力和星球表面重力万有引力相等求得星球的第一宇宙速度；
（2）根据重力与万有引力相等求得“高锟星”的质量，再根据密度公式求得该星的密度；
（3）根据万有引力提供圆周运动向心力由卫星运行的周期和星球的质量求得卫星距该星表面的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度时近地卫星的运行速度，满足万有引力提供圆周运动向心力，而在星球表面重力与万有引力相等有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度为：
v₁=$\sqrt{gR}$；
（2）根据星球表面重力与万有引力相等有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
可得高锟星的质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根据密度公式有，该星的平均速度为：
$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
（3）设高锟星质量为M，卫星质量为m，轨道半径r，根据题意有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
由（2）得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
所以可得卫星的轨道半径为：
r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
所以卫星距地面高度为：
h=r-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）卫星环绕“高锟星”运行的第一宇宙速度为$\sqrt{gR}$；
（2）“高锟星”的平均密度为$\frac{3g}{4πGR}$；
（3）该卫星距地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

点评 解决天体问题的两个主要入手点：一是星球表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供环绕天体的向心力．