Question

（2007?连云港三模）如图甲所示，质量分别为m=1kg，M=2kg的A、B两个小物块用经弹簧相连而静止在光滑水平面上，在A的左侧某处另有一个质量也为m=1kg的小物块C以v₀=4m/s的速度正对A向右匀速运动，一旦与A接触就将粘合在一起运动，若在C与A接触前对A施加一个水平向右的瞬时冲量I，从A获得瞬时冲量作用的时刻开始计时，向右为正方向，其速度随时间变化的图象如图乙所示（C与A未接触前），弹簧始终未超过弹簧性限度．

（1）求对A施加的瞬时冲量I的大小；
（2）在C与A接触前，当A的速度分别为6m/s、2m/s、-2m/s时，求对应状态下B的速度，并在此基础上在图乙中粗略画出B的速度随时间变化图象；
（3）若C分别在A的速度为v_A1=4m/s、v_A2=-2m/s时与A接触，试计算这两种情况下在接触后的运动过程中弹性势能的最大值E_pm1和E_pm2．
（4）若C在A的速度为v_A时与A接触，在接触后的运动过程中弹性势能的最大值为E_pm，试证明E_pm与第（3）问中的E_pm1、E_pm2间满足：E_pm1≥E_pm≥E_pm2．

Answer 1

分析：C与A接触前，A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得到B速度的表达式，再代入数据求出B的速度，画出图象．
无论C与A如何接触，当A、B、C具有相同速度u时弹性势能最大．根据系统的动量守恒求出u．再研究A、B碰撞过程，根据动量守恒和能量守恒求出碰撞损失的机械能．由三个物体的系统机械能守恒得到弹簧弹性势能的表达式E_p表达式，分析得到范围．

解答：解：（1）由图可知：对A施加瞬时冲量后的初速度为v_A0=6m/s，
所以施加的瞬时冲量I的大小I=mv_A0=6N?s
（2）由动量守恒定律 mV_A0=mV_A+MV_B   ①
得  v_B=

m

M

（V_A0-V_A）
代入数据得 B与A对应的速度为0，2m/s，4m/s 
描绘图象如图示
（3）无论C与A如何接触，当A、B、C具有相同速度u时弹性势能最大，
 由动量守恒定律  mV₀+mV_A0=（2m+M）u    ②
   u=2.5m/s
设C与A碰撞前后A的瞬时速度分别为V_A、V，碰撞过程缺失机械能为△E，则
   mV₀+mV_A=2mV  ③
△E=

1

2

mv

2 0

+

1

2

mv

2 A

-

1

2

×2mV²  ④
设最大的弹性势能为E_p，则 Ep=

1

2

mv

2 0

+

1

2

mv

2 A0

-

1

2

（2m+M）u²-△E  ⑤
联立②～⑤解得 E_P=

1

2

mv

2 0

+

1

2

mv

2 A0

-

1

2

（2m+M）u2-

1

4

m（V₀-V_A）² ⑥
可见V_A=V₀时，C与A接触而粘在一起，不损失机械能，△E=0，E_P有最大值E_Pm．代入⑥式得
E_pm=

1

2

×1×4²+

1

2

×1×6²-

1

2

×（2×1+2）×2.5²-0=13.5J
当V_A反向最大时，△E最大，E_P有最小值E_Pmin．
由第（1）问知，当V_A=-2m/s时，B的速度V_B=4m/s，这时A、B的总动能 E_KAB=

1

2

mv

2 A

+

1

2

Mv

2 B

=18J
A刚开始运动时，A、B和弹簧组成系统的总能量 E_K=

1

2

mv

2 A0

=18J
可见C与A碰撞前，A的反向最大速度不会超过2m/s，代入⑥得
  E_Pm=

1

2

×1×4²+

1

2

×1×6²-

1

2

×（2×1+2）×2.5²-

1

2

×2×（4+2）²=4.5J
所以A的速度为v_A1=4m/s时与A接触，弹簧弹性势能最大值E_pm1=13.5J
A的速度为v_A2=-2m/s时与A接触，弹簧弹性势能最大值E_pm2=4.5J．
所以弹簧弹性势能最大值的变化范围是 13.5J≥E_P≥4.5J   
答：（1）对A施加的瞬时冲量I的大小是6N?s；
（2）在C与A接触前，当A的速度分别为6m/s、2m/s、-2m/s时，B与A对应的速度为0，2m/s，4m/s；
（3）若C分别在A的速度为v_A1=4m/s、v_A2=-2m/s时与A接触，这两种情况下在接触后的运动过程中弹性势能的最大值E_pm1=13.5J
E_pm2=4.5J．
（4）证明如上．

点评：对于这类弹簧问题注意用动态思想认真分析物体的运动过程，注意过程中的功能转化关系；解答时注意动量守恒和能量守恒列式分析求解．