Question

7．设地球和火星都在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径为地球轨道半径的1.5倍．现从地球表面向火星发射火星探测器，发射过程分两步，第一步：在地球表面用火箭对探测器加速，使它脱离地球引力成为一个沿地球轨道运动的“星体”；第二步：在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使探测器沿半个椭圆轨道（该椭圆长轴两端分别与地球公转轨道及火星公转轨道相切，如图1所示）射到火星上．$\sqrt{5}$=2.2，$\sqrt{1.5}$=1.2，1年为365天．

（1）求火星公转的周期为多少天（地球日）？
（2）求火星探测器沿椭圆轨道运动到火星上经历的时间为多少天？
（3）当探测器沿地球轨道稳定运动后，在某年5月1日零时，测得探测器与火星间的角距离为60°，如图2所示，问应在何年何月何日点燃探测器的发动机，才能使探测器正好落在火星上？

Answer 1

分析 （1）根据开普勒第三定律列式即可求解；
（2）探测器和地球都围绕太阳运动，设探测器的周期为t，地球周期为T₀．依据开普勒第三定律即可求解；
（3）为使探测器落到火星上，必须选择适当时机点燃探测器上的火箭发动机，使得探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点时，火星也恰好运行到这一点．已知地球的公转周期，根据开普勒第三定律求出火星的周期，根据半长轴的大小求出探测器在椭圆轨道上的周期，抓住探测器、火星转动的角速度关系，结合转动的角距离得出探测器和火星到达同一点经历的天数

解答 解：（1）根据开普勒第三定律得：
$\frac{{{r}_{地}}^{3}}{{{T}_{地}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{火}}^{3}}{{{T}_{火}}^{2}}$
因为r_火=1.5r_地
解得：T_火=1.8T_地=1.8×365=657天，即火星公转的周期为657天，
（2）探测器和地球都围绕太阳运动，设探测器的周期为t，地球周期为T₀．依据开普勒第三定律有：
$\frac{（\frac{{R}_{m}+{R}_{0}}{2}）^{3}}{{t}^{2}}=\frac{{{R}_{0}}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}}$，解得：t=$\frac{5\sqrt{5}}{8}年$=502天，
探测器的飞行时间${t}_{1}=\frac{t}{2}=251天$
（3））为使探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点时，火星恰好运行到这一点，必须选择适当时机点燃火箭发动机．
地球公转的运动周期T_d=365天
地球公转的角速度 ${ω}_{d}=\frac{360°}{365天}=0.968°/天$
火星公转周期T_m=657天
火星公转角速度ω_m=$\frac{360°}{657天}$=0.548°/天
探测器从点燃火箭发动机至到达火星所需时间为${t}_{1}=\frac{t}{2}=251天$
探测器运行至火星的251天内，火星运行的角度为θ_m=ω_mt₁=0.548°/天×251天=137.5°
为了使探测器到达火星轨道时，正好射到火星上，那么探测器在椭圆轨道近日点点燃火箭发动机时，火星应在其远日点的切点之前137.5°处，即探测器点燃发动机时，与火星的角度应为180°-137.5°=42.5°
但是，已知某年3月1日零时探测器与火星的角距离为 60°（火星在前，探测器在后），为使其角度成为 42.5°，必须等待一段时间，设为t天，使二者达到角距离42.5°的合适位置．t 满足60°-42.5°=（ω_d-ω_m）$t=\frac{60°-42.5°}{{ω}_{d}-{ω}_{m}}=\frac{17.5}{0.42}=42天$
因此点燃火箭发动机的时刻应为当年的 3月1日之后42天，即同年的 4月11日．
答：（1）火星公转的周期为657天；
（2）火星探测器的飞行时间为251天；
（3）应在同年的 4月11日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面．

点评 本题主要考查了开普勒第三定律的应用，知道为使探测器落到火星上，必须选择适当时机点燃探测器上的火箭发动机，使得探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点时，火星也恰好运行到这一点，难度较大．