Question

8．如图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为E，方向与y轴平行；在x轴下方有一匀强磁场，磁场方向与纸面垂直．一质量为m、电荷量为-q（q＞0）的粒子以平行于x轴的速度与y轴上的P点处射入电场，在x轴上的Q点处进入磁场，并从坐标原点O离开磁场．粒子在磁场中的运动轨迹与y轴交于M点．已知OP=l，OQ=2$\sqrt{3}$l．不计重力．求
（1）粒子射入磁场时速度方向与x轴的夹角夹角θ；
（2）M点与坐标原点O间的距离；
（3）粒子从P点运动到M点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求出粒子射入磁场时速度方向与x轴方向的夹角．
（2）根据几何关系求出M点与坐标原点O间的距离．
（3）根据粒子在磁场中做圆周运动的圆心角求出粒子在磁场中的运动时间，结合类平抛运动的时间求出总时间．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得：a=$\frac{qE}{m}$…①
粒子在电场中运动的时间为：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2{y}_{0}}{a}}$…②
初速度为：${v}_{0}=\frac{{x}_{0}}{{t}_{1}}$…③
其中${x}_{0}=2\sqrt{3}l$，y₀=l．
又有：tanθ=$\frac{a{t}_{1}}{{v}_{0}}$…④
联立②③④式，得：θ=30°．
（2）因为M、O、Q点在圆周上，∠MOQ=90°，所以MQ为直径．从图中的几何关系可知．
R=$2\sqrt{3}l$…⑥
MO=6l…⑦
（3）设粒子在磁场中运动的速度为v，从Q到M点运动的时间为t₂，则有：$v=\frac{{v}_{0}}{cosθ}$…⑧
${t}_{2}=\frac{πR}{v}$…⑨
带电粒子自P点出发到M点所用的时间为：t=t₁+t₂…⑩
代入数据得：t=$（\frac{\sqrt{3}}{2}π+1）\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$．
答：（1）粒子射入磁场时速度方向与x轴的夹角夹角θ为30°；
（2）M点与坐标原点O间的距离为6l；
（3）粒子从P点运动到M点所用的时间为$（\frac{\sqrt{3}}{2}π+1）\sqrt{\frac{2ml}{qE}}$．

点评 解决此类题目的关键是知道粒子在各个阶段的运动性质，再分别应用不同的知识去求解，可以先画出草图再分析．