Question

13．如图所示，在矩形PQNM中有垂直纸面向外的匀强磁场，PQ和PM的长度分别为8L和3L，O为pQ上一点，OP长度为L．一个带正电荷的粒子从O点以速度v₀射入磁场中，粒子质量为m，带电荷量为e．
（1）若带电荷粒子速度垂直PQ向上，欲使粒子从PQ离开磁场，求磁感应强度的最小值B₁，并求出粒子在磁场中的运动时间；
（2）若此带电粒子速度与QP成夹角θ=60℃向上，欲使此粒子从PQ离开磁场，求磁感应强度的最小值B₂，并求出粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子运动轨迹，求出粒子轨道半径，然后由牛顿第二定律求出磁感应强度的最小值；根据粒子做圆周运动的周期公式与粒子在磁场中转过的圆心角可以求出粒子在磁场中的运动时间．

解答 解：（1）粒子速度垂直PQ向上，粒子恰好从PQ边射出，轨道半径最大时的运动轨迹如图所示，

由几何知识得，粒子轨道半径：r=3L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：ev₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{3eL}$，
粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{180°}{360°}$×$\frac{2πm}{e{B}_{1}}$=$\frac{3πL}{{v}_{0}}$；
（2）粒子速度与QP成夹角θ=60℃向上，粒子恰好从PQ边射出，轨道半径最大时的运动轨迹如图所示，

由几何知识得，粒子轨道半径：r′+r′sin30°=3L，r′=2L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：ev₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r′}$，解得：B₂=$\frac{m{v}_{0}}{2eL}$，
粒子在磁场中的运动时间：t′=$\frac{θ′}{360°}$T′=$\frac{180°-60°}{360°}$×$\frac{2πm}{e{B}_{2}}$=$\frac{4πL}{3{v}_{0}}$；
答：（1）若带电荷粒子速度垂直PQ向上，欲使粒子从PQ离开磁场，求磁感应强度的最小值B₁为$\frac{m{v}_{0}}{3eL}$，粒子在磁场中的运动时间为$\frac{3πL}{{v}_{0}}$；
（2）若此带电粒子速度与QP成夹角θ=60℃向上，欲使此粒子从PQ离开磁场，磁感应强度的最小值B₂为$\frac{m{v}_{0}}{2eL}$，粒子在磁场中的运动时间为$\frac{4πL}{3{v}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，考查了求磁感应强度与粒子的运动时间，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的关键，应用牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式可以解题．