Question

如图所示，一根长l=0.8m轻绳一端固定在O点，另一端栓一质量m=0.1kg的小球静止于A点，其右方有底面半径r=0.2m的转筒，转筒顶端与A等高，下部有一小孔，距顶端h=0.8m．现使细绳处于水平线上方30°的位置B点处而伸直，且与转筒的轴线、OA在同一竖直平面内，开始时小孔也在这一竖直平面内．将小球由B点静止释放，当小球经过A点时轻绳突然断掉，同时触动了光电装置，使转筒立刻以某一角速度匀速转动起来，且小球最终正好进入小孔．不计空气阻力，g取l0m/s²．试求：
（1）小球到达A点时的速率？
（2）转筒轴线距A点的距离L和转筒转动的角速度ω

Answer 1

分析：（1）由于轻绳突然断掉时，轻绳对小球做功，小球的机械能有损失，不能从B到A过程，运用机械能守恒列方程，解出小球到达A点时的速率．分两段研究：从B到细绳断掉和细绳断掉到A，分别根据机械能定律列式，求解小球到达A点时的速率．细绳断掉过程，小球沿绳子方向的速度突然减至零．
（2）滑块从A点到进入小孔做平抛运动，由高度h求出时间，由几何关系L-r=v_A?t求得L；在小球平抛的时间内，圆桶必须恰好转整数转，小球才能钻入小孔，根据此关系列式，求解转筒转动的角速度ω．

解答：解：（1）设细绳到C位置断掉．
从B→C过程：根据机械能守恒得：
mgl=

1

2

m

v

2 C

v_C切=v_Csin60°
从C到A，只有重力做功，据机械能守恒定律
mgl(1-cos60°)+

1

2

m

v

2 C切

=

1

2

m

v

2 A

vA=2

5

m/s
（2）滑块从A点到进入小孔的时间
t=

2h g

=

2×0.8 10

s=0.4s
L-r=v_A?t
L=

4 5 +1

5

m=1.99m
在小球平抛的时间内，圆桶必须恰好转整数转，小球才能钻入小孔
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）    
ω=5nπ（rad/s）（n=1，2，3…）   
答：
（1）小球到达A点时的速率为2

5

m/s；
（2）转筒轴线距A点的距离L是1.99m；转筒转动的角速度ω是5nπ（rad/s）（n=1，2，3…）．

点评：本题是圆周运动与平抛运动相结合的题目，考查了圆周运动及平抛运动的基本规律，运动过程较为复杂，难度较大．