Question

如图所示，光滑水平面上有一质量为M、长为L的长木板，其上有一质量为m的物块，它与长木板间的动摩擦因数为μ，开始时长木板与小物块均靠在与水平面垂直的左边固定挡板处以共同的速度v₀向右运动，当长木板与右边固定竖直挡板碰撞后立即以大小相同的速率反向运动，且左右挡板之间的距离足够长．
（1）若m＜M，试求要使物块不从长木板上落下，长木板的最短长度．
（2）若物块不会从长木板上掉下，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，试计算长木板与挡板第3次碰撞前整个系统损失的机械能大小及第n次碰撞前整个系统损失的机械能表达式．

Answer 1

分析：（1）由于小物块与长木板存在摩擦力，系统的机械能不断减少，所以小物块第一次与挡板碰撞后两者相对速度最大，第1次小物块若不能从长木板上掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物块恰好不从木板上掉下时，两者速度相同，而且物块恰好滑到木板的另一端，根据动量守恒定律求出第一次碰撞后两者的共同速度，由能量守恒定律求出长木板的长度L最小值．
（2）根据动量守恒定律求出1、2、3次碰撞后物块与木板的共同速度，寻找规律，再求解整个系统在第n次碰撞前损失的所有机械能．

解答：解：（1）长木板与右边挡板第一次碰撞后，物块在长木板上以速度v₀作相对运动，因左右挡板之间的距离足够长，当木块与长木板以共同速度v₁向左运动时，物块在长木板上移动的距离最远（设为L），此时物块在长木板上不掉下，则在以后的运动中物块也不会从长木板上掉下．因为每次碰撞后物块相对长木板运动的加速度相同，物块相对长木板运动的末速度也相同且为0，而第一次碰撞后物块相对长木板运动的初速度最大，所以第一次碰撞后物块相对长木板的位移也最大．
由动量守恒和能量守恒可得：
（M-m）v₀=（M+m）v_1①

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²=μmgL②
由①②两式可得：L=2Mv₀²

1

μ(M+m)g

即要使物块不从长木板上掉下，长木板的最短长度应为：L=2Mv₀²

1

μ(M+m)g

（2）长木板与挡板第二次碰撞前系统所损失的机械能为△E₁，则由能量守恒可得：
△E₁=

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²③
由①③式可得：△E₁=2Mmv₀²

1

M+m

④
长木板与挡板第二次碰撞后到物块与长木板第二次以共同速度v₂向右运动，直到长木板与挡板第3次碰撞前，系统所损失的机械能为△E₂，由动量守恒和能量守恒可得：
（M-m）v₁=（M+m）v_2⑤
△E₂=

1

2

（M+m）v₁²-

1

2

（M+m）v₂²⑥
由⑤⑥二式可得：△E₂=2Mmv₁²

1

M+m

=

2Mm

(M+m)

v

2 0

(

M-m

M+m

)2⑦
故长木板与挡板第3次碰撞前整个系统损失的机械能为：
由⑥⑦二式可得：△E=△E₁+△E₂=

2Mm M+m v 2 0 {1-[( M-m M+m )2]2}

1-( M-m M+M )2

⑧
将数据代入式可得：△E=148.1J⑨
由④⑦二式可得：长木板与板第（n-1）次碰撞后到长木板与挡板第n次碰撞前，系统所损失的机械能为△E_（n-1），由等比数列公式可得：
则：△E_（n-1）=△E1?

2Mm

(M+m)

v

2 0

[(

M-m

M+m

)2](n-1)⑩
所以长木板与挡板第n次碰撞前整个系统损失的机械能为：
△E_总=

2Mm M+m v 2 0 {1-[( M-m M+m )2](n-1)}

1-( M-m M+m )2

=150[1-(

1

9

)(n-1)]
答：（1）若m＜M，要使物块不从长木板上落下，长木板的最短长度是2Mv₀²

1

μ(M+m)g

（2）若物块不会从长木板上掉下，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，长木板与挡板第3次碰撞前整个系统损失的机械能大小是148.1J
第n次碰撞前整个系统损失的机械能表达式是

2Mm M+m v 2 0 1-[( M-m M+m )2](n-1)

1-( M-m M+m )2

．

点评：本题采用数学归纳法研究多次碰撞过程遵守的规律，考查分析和处理复杂运动过程的能力．