Question

10．如图所示，两个半径为R的四分之一圆弧构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O₁O₂水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球接触（不拴接，小球的直径略小于管的内径），长为R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距离为R．开始时弹簧处于锁定状态，具有的弹性势能为3mgR，其中g为重力加速度．解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出．

（1）求小球经C点时的动能和小球经C点时所受的弹力．
（2）讨论弹簧锁定时弹性势能满足什么条件，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可以求出小球的动能．小球做圆周运动，经过C点时，由牛顿第二定律可以求出弹力大小．
（2）小球离开C后做平抛运动，由分运动的规律求出C点的速度范围，再由能量守恒定律求出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）从解除弹簧锁定到小球运动到C点的过程，弹簧和小球系统机械能守恒，则
由机械能守恒定律得：3mgR=2mgR+E_k
解得：小球经C点时的动能 E_k=mgR；
小球过C时的动能：E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
设小球经过C点时轨道对小球的作用力为F，方向竖直向下．
由牛顿第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=mg，方向竖直向下；
（2）小球离开C点后做平抛运动，则
竖直方向有：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：x₁=v_Ct，
若要小球击中薄板，应满足：R≤x₁≤2R，
弹簧的弹性势能：E_P=2mgR+=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得，弹性势能E_P满足：$\frac{17}{8}$mgR≤E_p≤$\frac{5}{2}$mgR时，小球才能击中薄板；
答：
（1）小球经C点时的动能为mgR；小球经C点时所受的弹力为mg，方向竖直向下；
（2）当弹性势能E_P满足：$\frac{17}{8}$mgR≤E_p≤$\frac{5}{2}$mgR时，小球才能击中薄板DE．

点评 本题关键要分析清楚小球的运动过程，明确圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力．知道平抛运动的研究方法：运动的分解法，应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、平抛运动规律即可正确解题．