Question

12．如图所示，一光滑斜面的倾角为θ=30°，末端B与水平传送带相接，传送带的运行速度为v₀=5m/s沿顺时针匀速转动，长为L=4m；传送带下面离地面的高度h不变．质量为m=2kg的滑块，由A点静止下滑，当滑块滑到传送带经过时间t=0.4s加速后与传送带相对静止．滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25．设滑块经过B点时没有动能损失，求：
（1）AB间的距离s．
（2）在第（1）题情况下，物体通过传送带过程中，电动机多消耗的电能；
（3）s在什么范围内时，物体离开传送带后的落地点在同一位置．

Answer 1

分析 （1）滑块在传送带上水平方向受到传送带的摩擦力的作用，由牛顿第二定律求出加速度，然后由速度时间公式求出滑块在B点的速度；从A到B重力做功，由动能定理即可求得AB间的距离s；
（2）B到C的过程中滑块先加速，后匀速，电动机多消耗的电能等于传送带克服摩擦力做的功；
（3）要分情况进行讨论，1．滑块一直加速到C点；2．滑块一直减速到C点，根据运动学基本公式求解．

解答 解：（1）滑块在传送带上水平方向受到传送带的摩擦力的作用，由牛顿第二定律得：ma=f
所以：$a=\frac{μmg}{m}=μg=0.25×10=2.5m/{s}^{2}$
滑块刚滑上传送带时的速度v：v+at=v₀
所以：v=v₀-at=5-2.5×0.4=4m/s
从A到B重力做功，由动能定理得：$mgs•sin30°=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
得：$s=\frac{{v}^{2}}{2gsin30°}=\frac{{4}^{2}}{2×10×0.5}m=1.6$m
（2）滑块相对于传送带运动的过程中，传送带的位移：
x=v₀t=5×0.4=2m
电动机多消耗的电能等于传送带克服摩擦力做的功，即：△E=W=fx=μmg•x=0.25×2×10×2=10J
（3）设滑块滑上传送带的最小速度是v₁时，滑块一直在传送带上做加速运动，则：$2aL={v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}$
所以：${v}_{1}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-2aL}=\sqrt{{5}^{2}-2×2.5×4}m/s=\sqrt{5}$m/s
从A到B重力做功，由动能定理得：$mg{s}_{1}•sin30°=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-0$
代入数据得：s₁=0.5m
设滑块滑上传送带的最大速度是v₂时，滑块一直在传送带上做减速运动，则：$-2aL={v}_{0}^{2}-{v}_{2}^{2}$
代入数据得：${v}_{2}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2aL}=\sqrt{{5}^{2}+2×2.5×4}m/s=3\sqrt{5}$m/s
从A到B重力做功，由动能定理得：$mg{s}_{2}•sin30°=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-0$
代入数据得：s₂=4.5m
答：（1）AB间的距离是1.6m．
（2）在第（1）题情况下，物体通过传送带过程中，电动机多消耗的电能是10J；
（3）s在0.5m-4.5m范围内时，物体离开传送带后的落地点在同一位置．

点评 本题主要考查了动能定理、平抛运动的基本规律，运动学基本公式的应用，要注意传动带顺时针转动时，要分析物体的运动情况，再根据运动学基本公式求解．