Question

6．如图所示，在水平向左足够大的匀强电场中，一带电小球用绝缘轻绳悬于O点，平衡时小球位于A点，此时绳与竖直方向的夹角θ=53°．已知绳的长度为L，B、C、D到O点的距离均为L，BD水平，OC竖直．已知重力加速度为g
（1）如果小球质量为m，求小球的带电量及电性．
（2）将小球移到B点，给小球一竖直向下的初速度v_B，小球到达悬点正下方时绳中拉力恰等于小球重力，求v_B．
（3）将小球移到D点，给小球一斜向右上方的初速度v_D，v_D的方向与水平方向的夹角为53°，小球恰好能经过B点，求小球在D点时初速度v_D的大小（取sin53°=0.8，cos53°=0.6）．

Answer 1

分析 （1）在A点根据受力分析和共点力平衡即可求得
（2）小球在C点，靠径向的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出C点的速度大小，结合小球在A点平衡得出电场力和重力的关系，运用动能定理求出小球在B点的初速度．
（3）给小球一斜向右上方的初速度v₀，初速度v₀的方向与水平方向的夹角为53°，根据平行四边形定则求出合力的大小和方向，发现合力与初速度方向垂直，知小球做类平抛运动，将小球的运动分解为沿初速度方向和垂直于初速度方向，结合运动学公式求出D点的速度．

解答 解：（1）对小球受力分析，小球受到向右的电场力，故电荷带负电
根据共点力平衡可知qE=mgtanθ
E=$\frac{mgtanθ}{q}$=$\frac{4mg}{3q}$
（2）小球由B点运动到C点的过程中，由动能定理有：
$mgL-qEL=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$   ①
在C点，设绳中张力为F，则有：
${F}_{C}-mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{L}$    ②
因F_c=mg，故v_c=0     ③
解得${v}_{B}=\frac{\sqrt{6gL}}{3}$    ⑤
（2）小球在D点受力如图．
合力F=$\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$    ⑥
$tanα=\frac{mg}{qE}$  所以α=37°   ⑦
则v_D与F方向垂直，小球做类平抛运动，建立如图所示的坐标系，则
x方向：2lcos53°=v_Dt   ⑧
y方向：2lsin53°=$\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}^{2}$⑨
由⑧⑨得，${v}_{D}=\frac{\sqrt{3gL}}{2}$．
答：（1）小球的带电量为$\frac{4mg}{3q}$，电性为负点
（2）v_B的大小为$\frac{\sqrt{6gL}}{3}$．
（3）小球在D点时初速度v_D的大小为$\frac{\sqrt{3gL}}{2}$．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，以及知道在第（2）问中合力与初速度方向垂直，小球做类平抛运动．