Question

15．在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了-个简单的实验：他先利用手表记下一昼夜的时间T；然后，用弹簧测力计测-个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%．试写出估算该星球平均密度的表达式．（引力常量为G）

Answer 1

分析 砝码在赤道上失重10%，表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为F=0.1mg．一昼夜的时间T就是星球的自转周期，根据万有引力等于重力求解．

解答 解：
设星球的质量为M，半径为R，表面重力加速度为g′，平均密度为ρ，砝码的质量为m．
砝码在赤道上失重10%，表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为F=0.1mg．
而一昼夜的时间T就是星球的自转周期，根据牛顿第二定律，$0.1mg=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$，
根据万有引力定律，星球表面的重力加速度为$g′=G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{4GπρR}{3}$，
所以，星球平均密度的估算式ρ=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．
答：该星球平均密度的表达式ρ=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力这一重要理论，并能灵活运用，对于GM=gR²由于运用比较广泛，称为“黄金代换式”．