Question

（2005?北京）

AB

是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示．一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦．求
（1）小球运动到B点时的动能
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为

1

2

R时的速度大小和方向
（3）小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力N_B、N_C各是多大？

Answer 1

分析：（1）整个过程中，机械能守恒，可以求得小球运动到B点时的动能；
（2）在根据机械能守恒可以求得小球下滑到距水平轨道的高度为

1

2

R时的速度大小和方向；
（3）对小球受力分析，由牛顿第二定律可以求得支持力的大小．

解答：解：（1）从A到B的过程中，机械能守恒  
所以 E_k=mgR．
（2）根据机械能守恒△E_k=△E_p

1

2

mv²=

1

2

mgR
所以小球速度大小　v=

gR

，
速度方向沿圆弧的切线向下，
小球距水平轨道的高度为

1

2

R，由三角形的关系可知，小球与竖直方向的夹角为30°．
（3）根据牛顿运动定律及机械能守恒，在B点
N_B-mg=m

V 2 B

R

，
mgR=

1

2

mv_B²
解得  N_B=3mg
在C点时，小球受力平衡，所以 N_C=mg．
答：（1）小球运动到B点时的动能为mgR．
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为

1

2

R时的速度大小为

gR

，方向为沿圆弧的切线向下，与竖直方向成30°．
（3）所受轨道支持力N_B为3mg，N_C为mg．

点评：直接利用机械能守恒可以求得本题的结论，小球在B点时是圆周运动的一部分，在此时物体的运动需要向心力．