Question

一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F₁=7F₂，设R、m、引力常量G以及F₁为已知量，忽略各种阻力，求
（1）该星球表面的重力加速度g．
（2）星球的质量M．

Answer 1

分析：小球在竖直平面内做圆周运动，最高点和最低点都是由线的拉力和重力的合力提供向心力，根据题设条件可以得到星球表面的重力加速度，又在星球表面重力和万有引力相等，由此列式可求得星球的质量M．

解答：解：（1）小球在竖直平面内做圆周运动，令小球在最低点时的速度v₁，最高点时的速度为v₂，小球做圆周运动的半径为R则有：
小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒有：

1

2

mv₁²=mg2R+

1

2

mv₂²         ①
小球在最低点时绳的拉力F₁和重力提供向心力：F₁-mg=m

v12

R

         ②
小球在最高点时重力和绳的拉力F₂提供向心力：F₂+mg=m

v22

R

       ③
由题意知F₁=7F₂④
联立①②③④式可解得该星球表面的重力加速度为g=

F1

7m

，
又因为在星球表面重力和万有引力相等，所以有：
由G

m星m

R2

=mg
又g=

F1

7m

所以可解得星球的质量为

F1R2

7Gm

答：（1）该星球表面的重力加速度g=

F1

7m

．
（2）星球的质量M=

F1R2

7Gm

．

点评：竖直平面内的圆周运动，在最高点和最低点，都是由重力和绳的拉力的合力提供向心力，同时球在圆周运动时，满足机械能守恒；在星球表面重力和万有引力提供．