Question

19．小芳同学在学习了单摆之后，她设想了一个问题：如果让摆球带上电荷在磁场中摆动，（如图1所示），情况会怎样？与重力场中的单摆，（如图2所示）相比，运动情况还相同吗？还是简谐运动吗？于是她试着对这个问题进行了一系列的比较和探究．

如图1所示，把单摆放置在一垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B．已知单摆摆长为L，摆球的质量为m，带电量为+q，摆球在竖直平面内来回摆动，摆角为θ（θ＜5°），细线始终处于拉直状态，当地重力加速度为g，不计空气阻力的影响．
（1）求摆球摆到最低点时的速度大小v．该速度与重力场中摆球摆到最低点的速度大小相等吗？
（2）求摆动过程中细线拉力的最大值T．该拉力与重力场中细线拉力的最大值相等吗？
（3）小芳进一步对该运动进行了多角度的分析后，推断该运动仍然是简谐运动．请你运用学过的知识论证小芳的推断是否正确．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律可以列式求解最低点的速度；
（2）由向心力公式列式即可求得拉力大小，则可明确与只在重力场中时拉力的不同；
（3）根据回复力的定义，利用数学规律可明确小球受力特点；明确是否做简谐运动．

解答 解：（1）小球摆至最低点的过程中机械能仍然守恒；则有：
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：v=$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$；
可知，该速度与只受重力时摆球摆到最低点处的速度大小相等；
（2）小球向左运动摆至最低点时细线的拉力最大；在最低点受力情况如下图所示；
根据牛顿第二定律可得：
T-qvB-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$；
可得：
T=3mg-2mgcosθ+qB$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$
故该拉力与重力场中细线的拉力的最大值不相等；
（3）选择图中所示偏角为α角的位置进行分析，小球受到重力、洛仑兹力及拉力的作用；使摆球沿圆弧振动的回复力仍然由重力沿圆弧切线方向上的分力F=mgsinα提供；
取水平向右的方向为正方向，在偏角很小时，摆球对于平衡位置的位移x的大小，与α角所对的弧长、弦长都近似相等，因而sinα=$\frac{x}{L}$，所以摆球的回复力F=-$\frac{mg}{L}x$，负号表示回复力F与位移x的方向相反，由于m、g、L都有确定的数值；可以用一个常数k表示，于是上式就可以写成F=-kx；
可见在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向相反；因此该运动仍然是简谐运动；判断正确；
答：（1）摆球摆到最低点时的速度大小v．该速度与重力场中摆球摆到最低点的速度大小相等；
（2）求摆动过程中细线拉力的最大值T．该拉力与重力场中细线拉力的最大值不相等；
（3）小芳的判断是准确的．

点评 本题考查简谐运动及机械能守恒定律，要注意明确洛仑兹力永不做功这一结论；明确小球在磁场中运动时的能量转化关系，进而明确受力特点．