Question

两根足够长的光滑金属导轨平行固定在倾角为θ的斜面上，它们的间距为d．磁感应强度为B的匀强磁场充满整个空间、方向垂直于斜面向上．两根金属杆ab、cd的质量分别为m和2m，垂直于导轨水平放置在导轨上，如图所示．设杆和导轨形成的回路总电阻为R而且保持不变，重力加速度为g．
（1）给ab杆一个方向沿斜面向上的初速度，同时对ab杆施加一平行于导轨方向的恒定拉力，结果cd杆恰好保持静止而ab杆则保持匀速运动．求拉力做功的功率．
（2）若作用在ab杆的拉力与第（1）问相同，但两根杆都是同时从静止开始运动，求两根杆达到稳定状态时的速度．

Answer 1

分析：（1）题中cd棒静止，ab棒做匀速运动，两棒的合力均为零．先对cd棒，由平衡条件求出安培力的大小，再对ab棒研究，抓住两棒所受的安培力大小相等、方向相反，由平衡条件求出ab棒所受的恒定拉力，即可由P=Fv公式求出拉力做功的功率．
（2）开始时ab杆所受合力沿斜面向上，因此沿斜面向上运动，而cd杆所受合力沿斜面向下，因此沿斜面向下运动，随着速度的增大，安培力也逐渐增大，最后两杆同时达到匀速运动状态．由于两杆组成的系统所受的外力合力为零，因此系统动量守恒，根据动量守恒列式可得到稳定状态时两棒的速度关系，再对cd棒，由平衡条件列式，也得到两棒速度关系，联立即可求出两棒的速度．

解答：解：（1）cd杆保持静止，则杆所受安培力  F_B=IdB=2mgsinθ  ①
设ab杆所受的拉力为F，则对ab杆，有  F=mgsinθ+F_B ②
设ab杆的速度为v₀，则回路中的感应电流  I=

Bdv0

R

  ③
拉力做功的功率   P=Fv₀
联立解得拉力做功的功率P=(

mgsinθ

Bd

)2?6R ⑤
（2）开始时ab杆所受合力沿斜面向上，因此沿斜面向上运动，而cd杆所受合力沿斜面向下，因此沿斜面向下运动，随着速度的增大，安培力也逐渐增大，最后两杆同时达到匀速运动状态．设ab杆和cd杆最后的速度大小分别为v₁、v₂，因为两杆组成的系统所受的外力合力为零，因此系统动量守恒，取沿斜面向上为正方向，则  0=mv₁-2mv₂ ⑥
cd杆匀速运动，则杆所受安培力 I'dB=2mgsinθ   ⑦
回路中的电流  I′=

Bd(v1+v2)

R

⑧
联立解得ab杆和cd杆达到稳定状态时的速度分别为  v1=

4mgRsinθ

3B2d2

（方向沿斜面向上）  ⑨
   v2=

2mgRsinθ

3B2d2

（方向沿斜面向下）    ⑩
答：
（1）拉力做功的功率为(

mgsinθ

Bd

)2?6R．
（2）ab杆达到稳定状态时的速度为

4mgRsinθ

3B2d2

方向沿斜面向上，cd杆达到稳定状态时的速度为

2mgRsinθ

3B2d2

方向沿斜面向下．

点评：本题的解题是分析棒的运动过程，计算安培力是重要步骤．采用隔离法研究两棒都平衡的问题．