Question

15．平台离水平地面的高度为H=6m，平台的右上角有一光滑的$\frac{1}{4}$圆弧AB，过B 的切线水平．C为B在水平面的投影，一个质量m=2kg的小球从A点由静止开始释放，g=10m/s²．求：
（1）当圆弧AB的半径1m时，小球落在水平面的位置离 C点的距离？
（2）当圆弧AB的半径多大时，小球落在水平面的位置离C点的距离有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求解速度，再根据抛出后做平抛运动，根据平抛运动的位移公式求解；
（2）利用数学知识分析水平位移的表达式即可求解水平位移的最大值．

解答 解：（1）由机械能守恒定律可知：
mgR=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×1}$=2$\sqrt{5}$m/s；
小球由B点开始做平抛运动，由H-R=$\frac{1}{2}$gt²可得：
下落时间t=$\sqrt{\frac{2（H-R）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×4}{10}}$=$\sqrt{0.8}$s；
则水平位移x=vt=2$\sqrt{5}$×$\sqrt{0.8}$=4m；
（2）设半径为r，则由机械能守恒定律可知：
mgr=$\frac{1}{2}$mv²
由平抛运动规律可知：H-r=$\frac{1}{2}$gt²
水平位移：x=vt
联立解得：x=$\sqrt{4Hr-4{r}^{2}}$=$\sqrt{{H}^{2}-（2r-H）^{2}}$
则由数学规律可知，当2r=H时小球具有最大水平位移，最大位移为：
x_max=H=6m．
故当r=3m时，水平位移最大，最大位移为6m
答：（1）当圆弧AB的半径1m时，小球落在水平面的位置离 C点的距离为4m
（2）当圆弧AB的半径为3m时，小球落在水平面的位置离C点的距离有最大值，最大值为6m．

点评 本题考查机械能守恒定律与平抛运动规律的结合问题，解题的关键是对两个的运动过程分析清楚，然后选择机械能守恒定律和平抛运动规律列式求解．考查运用数学知识处理物理问题的能力．