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18.如图所示,半径为$\frac{l}{4}$、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接(绳子的延长线经过球心 ),两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点相距为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l.当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在同一竖直平面内).求:
(1)竖直杆角速度ω为多大时,小球恰好离开竖直杆?
(2)当竖直杆角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$时,轻绳a的张力Fa为多大?

分析 (1)小球恰离开竖直杆时,受重力和拉力,拉力的竖直分力与重力平衡,水平分力提供向心力;
(2)由向心力公式可明确此时绳是否张紧,再根据向心力公式列式即可明确此时绳a的拉力.

解答 (1)小球恰好离开竖直杆时,小球与竖直杆间的作用力为零,设此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α,由题意可知
sinα=$\frac{1}{4}$,r=$\frac{l}{4}$
沿半径:Fasin α=mω2r
垂直半径:Facos α=mg
联立解得ω=2$\sqrt{\frac{g}{15l}}$.
(2)若角速度ω再增大,小球将离开竖直杆,在轻绳b恰伸直前,设轻绳a与竖直杆的夹角为β,此时小球做圆周运动的半径为r=lsin β
沿半径:Fasin β=mω2r,
垂直半径:Facos β=mg
联立解得Fa=mω2l
当轻绳b恰伸直时,β=60°,此时ω=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
由于ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$>$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
故轻绳b已拉直,小球做圆周运动的半径为r=lsin 60°
沿半径:Fasin 60°+Fbsin 60°=mω2r
垂直半径:Facos 60°=Fbcos 60°+mg
联立解得Fa=$\frac{1}{2}$mlω2+mg,代入数据解得:Fa=3mg
答:(1)竖直杆角速度ω为2$\sqrt{\frac{g}{15l}}$时,小球恰好离开竖直杆?
(2)当竖直杆角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$时,轻绳a的张力Fa为3mg.

点评 本题关键是明确明确小球合力的水平分力提供向心力,竖直分力平衡;要注意第二问在解题时一定要先判断绳b的状态才能准确求解.

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