Question

“神舟”六号载人飞船在空中环绕地球做匀速圆周运动，某次经过赤道的正上空时，对应的经度为θ₁（实际为西经157.5°），飞船绕地球转一圈后，又经过赤道的正上空，此时对应的经度为θ₂（实际为西经180°）．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T₀．求飞船运行的圆周轨道离地面高度h的表达式．（用θ₁、θ₂、T₀、g和R表示）．

Answer 1

分析：根据题意求出神舟”六号载人飞船绕地球做圆周运动的周期，飞船绕地球做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，由牛顿第二定律列方程，可以求出飞船的轨道半径，然后求出飞船距地面的高度．

解答：解：飞船转一周，地球转动△θ=θ₂-θ₁，
飞船绕地球做圆周运动的周期T=

△θ

2π

T₀=

θ2-θ1

2π

T₀  ①，
设地球质量为M，飞船质量为m，飞船轨道半径为r，
由牛顿第二定律得：

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r   ②，
对地球表面上的物体m₀，有m₀g=G

Mm0

R2

  ③，
由①②③解得：r=

3	gR2(θ2-θ1)2 T 2 0 16π4

，
则飞船运行的圆周轨道离地面高度h=r-R=

3	gR2(θ2-θ1)2 T 2 0 16π4

-R；
答：飞船运行的圆周轨道离地面高度

3	gR2(θ2-θ1)2 T 2 0 16π4

-R．

点评：本题考查了万有引力定律的应用，万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力，忽略地球自转的影响，地球表面的物体受到的重力等于地球对它的万有引力，注意“黄金代换”的应用，这是正确解题的关键．