Question

2．如图所示，粗糙的水平面平滑连接一个竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R=0.1m，半圆形轨道的底端放置一个质量为m=0.1kg的小球B，水平面上有一个质量为M=0.3kg的小球A以初速度v₀=4.0m/s开始向着小球B滑动，经过时间t=0.80s与B发生弹性碰撞．设两小球均可以看作质点，它们的碰撞时间极短，且已知小球A与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，g=10m/s²．求：
（1）小球B运动到最高点C时对轨道的压力；
（2）确定小球A所停的位置距圆轨道最低点的距离．

Answer 1

分析 （1）对A应用动量定理求解碰撞时A的速度；AB碰撞过程动量守恒，机械能守恒，列方程组求碰后A的速度和B的速度，对B在轨道上运动过程机械能守恒求B球到达C点时的速度，然后根据牛顿第二定律求解球B受到的压力；
（2）先判断A是能到达最高点后飞出还是到达不了沿原路返回，然后求解．

解答 解：（1）碰前对A由动量定理有：-μMgt=Mv_A-Mv₀ 
解得：v_A=2m/s                                
对A、B：碰撞前后动量守恒：Mv_A=Mv_A′+mv_B 
碰撞前后动能保持不变：$\frac{1}{2}$Mv_A²=$\frac{1}{2}$Mv_A′²+$\frac{1}{2}$mv_B² 
由以上各式解得：v_A′=1m/s  v_B=3 m/s    
又因为B球在轨道上机械能守恒：$\frac{1}{2}$mv_B′²+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B² 
解得：v_c=$\sqrt{5}$m/s      
在最高点C对小球B有：mg+F_N=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$ 
解得：F_N=4N
由牛顿第三定律知：小球对轨道的压力的大小为4N，方向竖直向上．  
（2）对A沿圆轨道运动时：$\frac{1}{2}$Mv_A′²＜MgR
因此A沿圆轨道运动到最高点后又原路返回到最低点，此时A的速度大小为1m/s．
由动能定理得：-μMgs=0-$\frac{1}{2}$Mv_A′² 
解得：s=0.2m
答：（1）小球B运动到最高点C时对轨道的压力为4N；
（2）确定小球A所停的位置距圆轨道最低点的距离为0.2m．

点评 本题考查了圆周运动与能量守恒定律的综合运用问题，是力学典型的模型，也可以用动能定理结合牛顿第二定律求解．