Question

理论研究指出，简谐振动的振动位移X与时间t的关系图象（x-t）可以是一条余弦曲线，其函数表达式为：x=Acosωt，其中A是振幅，ω=2π/T．对于周期性变化的电压和电流的图象也可以是一条余弦曲线，其函数表达式类似．下图中从阴极K发射的电子经电势差U₀=5000V的阳极加速后，沿平行于板面的方向从中央射入两块长L₁=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板边缘L₂=75cm处放置一个直径D=20cm、带有记录纸的圆筒．整个装置放在真空内，电子发射的初速度不计（见图）．若在两金属板上交变电压以U₂=1000cos2πt（V）的规律变化，并使圆筒绕中心轴按图示方向以n=2转/s匀速转动，电子质量为9.1×10^-31kg，电子电量为1.6×10^-19c求：
（1）电子加速后的入射速度？
（2）在纸筒上的落点对入射方向的总偏距？
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形．

Answer 1

（1）电子在加速电场中，由动能定理得：
   eU₀=

1

2

m

v

20

得电子加速后的入射速度 v₀=

2eU0 m

=4.2×10⁷m/s
（2）加上交变电压时，A、B两板间运动时：
 电子飞离金属板时的竖直偏转距离  y1=

1

2

a

t

21

=

1

2

?

eE2

m

(

L1

v0

)2
 电子飞离金属板时的竖直速度  v_y=at₁=

eE2

m

?

L

v0

电子从飞离金属板到达圆筒时的偏距
   y₂=v_yt₂=

eE2

m

?

L

v0

?

L2

v0

=

eE2L1L2

m v 20

所以在纸筒上的落点对入射方向的总偏距为
  y=y₁+y₂=（

L1

2

+L2）

eE2L1

m v 20

+L₂=（

L1

2

+L2）

L1U2

2dU0

代入解得，y=0.20cos2πt（cm）
（3）在记录纸上的点以振幅0.20m，周期T=

2π

ω

=1s而做简谐运动，因为圆筒每秒转2周，故在1 s内纸上的图形如图所示．
答：
（1）电子加速后的入射速度是4.2×10⁷m/s．
（2）在纸筒上的落点对入射方向的总偏距是0.20cos2πt（cm）
（3）确定电子在记录纸上的轨迹形状并画出1s内所记录到的图形如图所示．