Question

如图所示，A为位于一定高度处的质量为m的小球，初速为零。B为位于水平地面上的质量为M的用特殊材料制成的长方形空心盒子，且M=2m，盒子与地面间的动摩擦因数=0.2，设当小球进入盒内后即发生竖直方向的相互作用，相互作用力的大小为2mg，小球受到的盒子的作用力方向竖直向上，盒子受到的小球的作用力方向竖直向下，小球在盒外时没用相互作用。盒子的上表面开有一系列略大于小球的小孔，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触．当小球A以v=1m/s的速度从孔1进入盒子的瞬间，盒子B恰以v₁=6 m/s的初速度向右滑行．设盒子足够长，取重力加速度g=10m/s²，小球恰能依次从各个小孔进出盒子，且不与盒子底部相碰。试求：

(1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；

(2）盒子上至少要开多少个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；

(3) 从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程．

Answer 1

  （1）A在盒子内运动时，         　　a＝g                           

A在盒子内运动的时间    A在盒子外运动的时间     

A从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间                  （2分）

（2）小球在盒子内运动时，盒子的加速度              （1分）

小球在盒子外运动时，盒子的加速度                      （1分）

小球运动一个周期盒子减少的速度为       （2分）

从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数为       

故要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个，即11个．   （2分）

（3）小球第一次在盒内运动的过程中，盒子前进的距离为

                                                 

小球第一次从盒子出来时，盒子的速度                 

小球第一次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为     

小球第二次进入盒子时，盒子的速度                        

小球第二次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离为    

小球第二次从盒子出来时，盒子的速度                     

小球第二次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为     

分析上述各组数据可知，盒子在每个周期内通过的距离为一等差数列，    （6分）[

公差d＝0.12m．且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，最后0.2s内盒子通过的路程为0.04m．

所以从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为

                                    （2分）