Question

17．如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻均不计．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B₀=1T．将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好．现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到温度速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿向下运动过程中始终与NQ平行．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）刚开始运动时金属棒的加速度是多少？金属棒与导轨间的动摩擦因数μ？
（2）稳定运动时金属棒的速度是多少？cd离NQ的距离s？
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量？
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻时，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B关于t的函数关系式）．

Answer 1

分析 （1）当刚释放时，由图乙读出加速度，此时导体棒中没有感应电流，所以只受重力、支持力与静摩擦力，由牛顿第二定律可求出动摩擦因数．
（2）当金属棒速度稳定时加速度为零，由图乙读出速度，此时金属棒受到重力、支持力、安培力与滑动摩擦力达到平衡，这样可以列出安培力公式，产生感应电动势的公式，再由闭合电路殴姆定律，列出平衡方程可求出金属棒的内阻，从而利用通过棒的电量来确定发生的距离．
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，由能量守恒定律求电阻R上产生的热量．
（4）要使金属棒中不产生感应电流，则穿过线框的磁通量不变．同时棒受到重力、支持力与滑动摩擦力做匀加速直线运动．从而可求出磁感应强度B随时间t变化的规律．

解答 解：（1）由图乙知，当v=0时，a=2m/s²，即刚开始运动时金属棒的加速度是2m/s²．
由牛顿第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入解得 μ=0.5       
（2）当金属棒速度稳定时加速度为零，由图象可知：金属棒的最大速度为 v_m=2m/s  
当金属棒达到稳定速度时，有 F_A=B₀IL；
且有 B₀IL+μmgcosθ=mgsinθ
解得 I=0.2A；
金属棒产生的感应电动势：E=B₀Lv=1×0.5×2=1V；
因 I=$\frac{E}{R+r}$，解得金属棒的电阻 r=1Ω
电量为：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R+r}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$
即有：s=2m
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，根据能量守恒定律得：
电阻R上产生的热量 Q_R=$\frac{R}{R+r}$（mgh-μmgscos37°-$\frac{1}{2}$mv²）
代入解得 Q_R=0.08J
（4）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．此时金属棒将沿导轨做匀加速运动．              
由牛顿第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma
则 a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²
根据磁通量不变，得 B₀Ls=BL（s+vt+$\frac{1}{2}$at²）
则磁感应强度与时间变化关系：B=$\frac{{B}_{0}s}{s+vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}}$=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$ T．
答：
（1）刚开始运动时金属棒的加速度是2m/s²．金属棒与导轨间的动摩擦因数为0.5； 
（2）稳定运动时金属棒的速度是2m/s，cd离NQ的距离2m；
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量0.08J；
（4）磁感应强度B应怎样随时间t变化规律为 B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$ T．

点评 本题要准确把握金属棒的运动情况及其受力情况，知道加速度为零时速度最大，明确电量与金属棒移动的距离有关，巧妙用磁通量的变化去求出面积从而算出棒的距离．抓住线框的总磁通量不变时，金属棒中将不产生感应电流．